[논문 리뷰] Utility maximization in incomplete markets with default

Thomas Lim, Marie-Claire Quenez|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 39인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 디폴트 리스크가 존재하는 불완전한 금융 시장에서 지수 utility 최적화 및 인디퍼런스 가격 설정을 후행 확률미분방정식(BSDEs)을 사용하여 연구한다. utility 최적화의 가치 함수가 리프시츠 조건을 만족하는 BSDE의 최대 하위해로서 특징지어지며, 이 BSDE 프레임워크를 통해 인디퍼런스 가격이 특징지어지고, 유한 전략으로의 근사화를 통해 수치 계산이 가능해진다.

ABSTRACT

We adress the maximization problem of expected utility from terminal wealth. The special feature of this paper is that we consider a financial market where the price process of risky assets can have a default time. Using dynamic programming, we characterize the value function with a backward stochastic differential equation and the optimal portfolio policies. We separately treat the cases of exponential, power and logarithmic utility.

연구 동기 및 목표

• 단일 디폴트 시간이 존재하는 불완전한 시장에서 지수 utility 최적화의 가치 함수를 특징짓는 것.
• utility 최적화와 후행 확률미분방정식(BSDE)의 해 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• 유한 전략으로의 근사화를 통해 비유한 허용 전략에 대한 동적 프로그래밍 접근법을 개발하는 것.
• 가치 함수와 BSDE 이론을 활용하여 인디퍼런스 가격을 특징짓는 것.
• 이 프레임워크를 다중 디폴트 시간 또는 포아송 과정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 유한 전략에 대해, 유한 계수 조건 하에서 리프시츠 BSDE를 만족하는 가치 함수가 해임을 보여주는 검증 정리를 사용한다.
• 비유한 전략에 대해, 가치 함수를 BSDE의 최대 하위해로 특징짓기 위해 동적 프로그래밍 원리를 적용한다.
• 각각 리프시츠 BSDE를 만족하는 유한 허용 전략을 사용하여 가치 함수의 근사 수열을 구성한다.
• 두브-마이어 분해 및 초마르팅게일 성질을 활용하여 BSDE의 생성자(generator)를 도출한다.
• 필수 하한 및 최적성 기준을 사용하여 최적 전략을 식별하고 해를 검증한다.
• 이론을 적용하여 인디퍼런스 가격을 가치 함수에서 유도된 2차형태의 BSDE의 해로 특징짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 디폴트 시간이 존재하는 불완전한 시장에서 지수 utility 최적화의 가치 함수는 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 디폴트 리스크 하에서 동적 가치 함수를 표현하는 데 후행 확률미분방정식(BSDE)이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 유한 허용 전략의 맥락에서 검증 정리를 사용하여 최적 전략은 어떻게 식별될 수 있는가?
• RQ4 유한성 제약이 없는 상황에서, 동적 프로그래밍과 BSDE를 통해 가치 함수는 어떻게 특징지어지는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 유한 전략으로의 근사화를 통해 유도된 BSDE의 해로부터 유한 전략의 인디퍼런스 가격을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 전략에 대해, 유한 계수 조건 하에서 리프시츠 BSDE의 해로 지수 utility 최적화의 가치 함수가 특징지워진다.
• 비유한 전략에 대해, 가치 함수는 BSDE의 최대 하위해로서 특징지어지며, 이는 유한 사례를 일반화한 것이다.
• 값 함수는 각각 리프시츠 BSDE를 만족하는 근사 유한 전략과 관련된 값 함수의 수열의 극한으로서 나타난다.
• 최적 전략은 가치의 지수 함수의 초마르팅게일 성질과 BSDE의 해를 연결하는 검증 정리를 통해 식별된다.
• 유한 전략의 인디퍼런스 가격은 가치 함수에서 유도된 2차형태의 BSDE의 해로 특징지워진다.
• 이 프레임워크는 다중 디폴트 시간 또는 포아송 과정으로 확장 가능하며, BSDE 특징지움이 유지된다.