[논문 리뷰] BSDEs with time-delayed generators of a moving average type with applications to non-monotone preferences

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 22.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이동 평균 형식의 시간 지연된 생성자와 함께 후행 확률 미분 방정식(BSDEs)을 도입한다. 여기서 생성자는 해의 과거 값과 그 확산 성분의 시간 평균에 의존한다. 저자들은 명시적 해를 유도하고, 이러한 방정식이 비단조화적 선호를 모델링할 수 있음을 보여주며, 실망 효과와 변동성 회피를 반영한다. 이는 고전적 마코프성 BSDEs에 존재하지 않는 핵심 행동 양태이다. 따라서 과거 변동성과 실패한 기대를 처벌하는 동적 평가 규칙을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we consider backward stochastic differential equations with time-delayed generators of a moving average type. The classical framework with linear generators depending on $(Y(t),Z(t))$ is extended and we investigate linear generators depending on $(\frac{1}{t}\int_0^tY(s)ds, \frac{1}{t}\int_0^tZ(s)ds)$. We derive explicit solutions to the corresponding time-delayed BSDEs and we investigate in detail main properties of the solutions. An economic motivation for dealing with the BSDEs with the time-delayed generators of the moving average type is given. We argue that such equations may arise when we face the problem of dynamic modelling of non-monotone preferences. We model a disappointment effect under which the present pay-off is compared with the past expectations and a volatility aversion which causes the present pay-off to be penalized by the past exposures to the volatility risk.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 고전적 BSDEs를 확장하여 투자자 선호도에 기억 효과를 포함시키는 것을 목적으로 한다.
• . 마코프성 생성자가 과거 성과와 기대를 忽시한다는 한계를 다룬다.
• . 비단조화적 선호, 예를 들어 실망과 변동성 회피를 모델링하는 것이 목적이다. 이는 고전적 BSDEs가 포착하지 못하는 것이다.
• . 저자들은 행동 금융 이론의 통찰과 일관된 동적 평가 프레임워크를 제공하고자 한다.
• . 이는 이동 평균 형식의 생성자를 갖는 시간 지연 BSDEs의 명시적 해를 유도하는 데 있다.

제안 방법

• . 이 논문은 생성자가 [0,t] 기간 동안 Y(s)와 Z(s)의 이동 평균에 의존하는 BSDEs를 설정한다. 즉, (1/t)∫₀ᵗ Y(s)ds 및 (1/t)∫₀ᵗ Z(s)ds이다.
• . 수정된 제1종 및 제2종 수정 Bessel 함수를 사용하여 명시적 닫힌 형식의 해를 도출한다.
• . 해 기법은 시간 지연 BSDE를 상미분방정식의 체계로 변환하는 데 사용된다.
• . 저자들은 수정된 Bessel 함수의 성질을 활용하여 유도된 ODE를 해결하고, 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• . 동적 평가 규칙은 실망을 모델링하는 하나의 BSDE와 변동성 회피를 모델링하는 다른 하나의 BSDE를 풀어 유도된다.
• . 평가 규칙은 시간 평균 기대와 과거 변동성 처벌을 포함하며, 이중 변동성과 확률적 적분을 포함한 명시적 표현으로 표현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 이동 평균 형식의 시간 지연 생성자를 갖는 BSDEs가 비단조화적 투자자 선호를 모델링할 수 있는가?
• RQ2 . 과거 기대와 과거 변동성 노출은 현재 평가와 효용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 . 일시적인 소비 증가가 장기 효용을 감소시키는 실망 효과를 이러한 BSDEs가 포착할 수 있는가?
• RQ4 . 과거 변동성은 현재 평가에 얼마나 처벌하는가? 이는 고전적 BSDEs와 어떻게 다를까?
• RQ5 . 이동 평균 생성자를 갖는 시간 지연 BSDEs의 명시적 해 구조는 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• . 이 논문은 수정된 Bessel 함수를 사용하여 이동 평균 형식의 생성자를 갖는 시간 지연 BSDEs의 명시적 해를 도출한다.
• . 해는 비단조화적 행동을 보인다: 종료 지ay의 일시적 증가가 반드시 현재 가격 ρt를 증가시키지 않는다는 점에서 비단조화적 선호와 일치한다.
• . 평가 규칙 ρt,T(ξ) = ẼQ[ξ|Ft] − β ln(T/t) ∫₀ᵗ Z(s)ds는 과거 변동성을 처벌하며, 과거 변동성이 높고 지급액이 감소하면 음수 값이 된다.
• . 동적 평가 규칙 ρt,T(ξ) = ˜V(t) − β ln(T/t) ∫₀ᵗ Z(s)ds는 누적 과거 변동성이 현재 평가를 감소시킴으로써 위험 회피를 모델링한다.
• . 표현 dRt(s) = d˜V(s) − β ln(T/t)/s d[˜V,˜V](s)/ds ds는 가격이 예상 지급 변화의 샤프 비율에 따라 조정됨을 드러낸다.
• . 이 모델은 실망 효과를 포착한다: 높은 기대에 이어 낮은 결과가 올 경우 음수 평가가 된다. 이는 Loomes & Sugden 및 Dybvig & Rogers와 일치한다.