[논문 리뷰] BSDEs with time-delayed generators of a moving average type with applications to pricing and utilities

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 22.

Stochastic processes and financial applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 해석적 과거 값의 이동 평균 형태의 시간 지연 생성자와 함께 후행 확률 미분 방정식(BSDEs)을 도입한다. 여기서 생성자는 해의 및 제어 과정의 과거 값에 대한 시간 평균에 의존한다. 연구는 명시적 해를 유도하고, 이들이 비단조화적 선호, 특히 동적 금융 결정에서의 실망 회피와 변동성 회피를 모델링하는 데 응용될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we consider backward stochastic differential equations with time-delayed generators of a moving average type. The classical framework with linear generators depending on $(Y(t),Z(t))$ is extended and we investigate linear generators depending on $(\frac{1}{t}\int_0^tY(s)ds, \frac{1}{t}\int_0^tZ(s)ds)$. We derive explicit solutions to the corresponding time-delayed BSDEs and we investigate in detail main properties of the solutions. An economic motivation for dealing with the BSDEs with the time-delayed generators of the moving average type is given. We argue that such equations may arise when we face the problem of dynamic modelling of non-monotone preferences. We model a disappointment effect under which the present pay-off is compared with the past expectations and a volatility aversion which causes the present pay-off to be penalized by the past exposures to the volatility risk.

연구 동기 및 목표

• 해의 및 제어 과정의 과거 값에 대한 이동 평균에 의존하는 시간 지연 생성자를 도입함으로써 고전적 BSDE를 확장하는 것.
• 선형 생성자 가정 하에 이러한 시간 지연 BSDE의 명시적 해를 도출하는 것.
• 실망 효과 및 변동성 회피와 같은 행동 금융 현상 모델링을 위한 이러한 방정식의 경제적 정당성을 제공하는 것.
• 이러한 지연 BSDE의 해의 구조적 및 동적 성질을 조사하는 것.
• 비표준 투자자 선호 조건 하에서 가격 책정 및 유틸리티 평가에 모델의 관련성을 보여주는 것.

제안 방법

• 생성자가 $ \frac{1}{t}\int_0^t Y(s)ds $ 및 $ \frac{1}{t}\int_0^t Z(s)ds $와 같은 시간 평균 과정에 의존하는 시간 지연 BSDE를 수립한다.
• 스토크스 미분 방정식 이론 및 선형 SDE 이론의 기법을 적용하여 시스템의 닫힌 형식 해를 도출한다.
• 생성자의 선형성 덕분에 문제를 결정론적 지연 미분 방정식 시스템의 해법으로 환원한다.
• 시간 평균 성분을 분리하기 위해 변환을 도입하고, 이를 통해 유도된 시스템을 분석한다.
• Itô의 공식 및 마틴갈 representation 정리를 활용하여 해의 구조를 검증한다.
• 적절한 적분 가능성 및 정규성 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 BSDE는 어떻게 과거 과정의 이동 평균에 기반한 시간 지연 생성자를 포함시켜 확장될 수 있는가?
• RQ2 이러한 시간 지연 및 선형 생성자를 갖는 BSDE의 명시적 해 형태는 무엇인가?
• RQ3 어떤 경제적 맥락에서 이동 평균 유형의 시간 지연 생성자가 자연스럽게 나타나는가?
• RQ4 이러한 모델은 실망 회피와 같은 비단조화적 투자자 선호를 어떻게 포착하는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 과거의 변동성 노출은 현재 유틸리티 및 가격 결정에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 $ Y(t) $ 및 $ Z(t) $의 이동 평균에 의존하는 시간 지연 생성자를 갖는 BSDE의 명시적 닫힌 형식 해를 도출한다.
• 해는 선형 가정 하에서 해석적으로 풀 수 있는 결정론적 지연 미분 방정식 시스템으로 특징지어진다.
• 모델은 현재 수익이 과거 평균 기대에 상대적으로 평가되는 실망 효과를 포착한다.
• 과거 변동성 리스크 노출에 기반해 현재 수익을 페널티 부여함으로써 변동성 회피를 통합한다.
• 시간 지연 구조는 경로에 의존하고 기억 효과를 보이는 해를 이끌어내어, 고전적 마코프성 BSDE와 구별된다.
• 결과는 연속 시간 금융에서 비단조화적 선호의 동적 모델링에 대한 엄밀한 확률적 기반을 제공한다.