[논문 리뷰] BSDEs with two RCLL Reflecting Obstacles driven by a Brownian Motion and Poisson Measure and related Mixed Zero-Sum Games

Saïd Hamadène, H.Wang|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 독립적인 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 두 개의 오른쪽 연속 왼쪽 극한(RCLL) 반사 장벽을 가진 역확률미분방정식(BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. 이는 균일 리프시츠 조건과 장벽 간 완전한 분리 조건 하에서 성립한다. 주요 기여는 두 장벽 사이의 초과마틴게일 차이가 필요로 하지 않는, 관련된 혼합 제로섬 미분-적분 게임에서의 가치 존재성을 증명하는 데 있다.

ABSTRACT

In this paper we study Backward Stochastic Differential Equations with two reflecting right continuous with left limits obstacles (or barriers) when the noise is given by Brownian motion and a Poisson random measure mutually independent. The jumps of the obstacle processes could be either predictable or inaccessible. We show existence and uniqueness of the solution when the barriers are completely separated and the generator uniformly Lipschitz. We do not assume the existence of a difference of supermartingales between the obstacles. As an application, we show that the related mixed zero-sum differential-integral game problem has a value.

연구 동기 및 목표

• 일반 레비 노이즈, 특히 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 두 개의 반사 오른쪽 연속 왼쪽 극한(RCLL) 장애물이 있는 역확률미분방정식(BSDE)을 연구하는 것.
• 장애물이 예측 가능하고 접근할 수 없는 점프를 모두 가질 수 있을 경우 이러한 BSDE를 해결하는 데 도전하는 것.
• 두 장벽 간 차이가 초과마틴게일의 차이로 표현되어야 한다는 제한적인 가정을 제거하는 것.
• BSDE의 해를 이용하여 혼합 제로섬 미분-적분 게임에서의 가치 존재성을 확립하는 것.

제안 방법

• 독립적인 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 두 장벽 반사 BSDE를 수립하는 것.
• 생성자에 대한 균일 리프시츠 연속성에 기반한 고정점 추론을 사용하여 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 두 반사 장벽을 예측 가능하고 접근할 수 없는 점프를 포함한 임의의 점프 동역학을 가진 RCLL 과정으로 모델링하는 것.
• 장벽이 완전히 분리되어 있음을 보장하는 것, 즉 상부 장벽이 항상 하부 장벽보다 엄격히 위에 있어야 한다는 조건.
• 해를 혼합 제로섬 게임 프레임워크에 적용하여, 가치가 BSDE의 해로부터 유도됨을 보이는 것.
• 브라운 운동과 포아송 측도 간의 독립성을 활용하여 분석에서 확률적 동역학을 분리하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동과 포아송 측도에 의해 구동되는 두 장벽 반사 BSDE가 유일한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 장벽 간 차이가 초과마틴게일의 차이로 표현되어야 한다는 가정 없이도 해를 확립할 수 있는가?
• RQ3 반사 장벽에 포함된 예측 가능하고 접근할 수 없는 점프는 BSDE의 해 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 반사 BSDE의 해가 혼합 제로섬 미분-적분 게임에서 가치 존재성을 암시하는가?
• RQ5 해의 존재성과 유일성을 확보하기 위해 생성자와 장벽에 필요한 구조적 가정은 무엇인가?

주요 결과

• 장벽이 완전히 분리되어 있고 생성자가 균일 리프시츠일 경우, 두 장벽 반사 BSDE에 대해 유일한 해가 존재한다.
• 장벽 간 차이가 초과마틴게일의 차이로 표현되어야 한다는 가정이 필요로 하지 않으며, 이는 이전의 가정을 상당히 완화한 것이다.
• 해의 존재성은 관련된 혼합 제로섬 미분-적분 게임이 가치를 가짐을 암시한다.
• 이 방법은 예측 가능하고 접근할 수 없는 점프를 모두 가진 장애물에 적용 가능하여, 허용 가능한 장벽의 범위를 넓힌다.
• 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도 간의 독립성은 동역학을 분리하고 고정점 추론이 성립하도록 보장하는 데 핵심적이다.