[논문 리뷰] Building blocks of polarized endomorphisms of normal projective varieties

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 43인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정규 프로젝티브 다양체의 준-극화된 자기 사상이 항상 극화된 자기 사상임을 증명하며, 등변 유리 사상에 의해 내림내림이 가능하다는 것을 보여준다. 주요 기여는 f-등변 최소 모델 프로그램(MMP)과 MRC 포장에 의해 극화된 자기 사상의 기본 블록이 피카르 수가 1인 파코 리만 다양체와 Q-아벨란 다양체(아벨 다양체의 준-에탈레 몫)임을 규명한 것이다.

ABSTRACT

An endomorphism $f$ of a projective variety X is polarized (resp. quasi-polarized) if $f^*H$ is linearly equivalent to $qH$ for some ample (resp. nef and big) Cartier divisor $H$ and integer $q > 1$. First, we use cone analysis to show that a quasi-polarized endomorphism is always polarized, and the polarized property descends via any equivariant dominant rational map. Next, we show that a suitable maximal rationally connected fibration (MRC) can be made $f$-equivariant using a construction of N. Nakayama, that $f$ descends to a polarized endomorphism of the base Y of this MRC and that this Y is a Q-abelian variety (quasi-étale quotient of an abelian variety). Finally, we show that we can run the minimal model program (MMP) $f$-equivariantly for mildly singular X and reach either a Q-abelian variety or a Fano variety of Picard number one. As a consequence, the building blocks of polarized endomorphisms are those of Q-abelian varieties and those of Fano varieties of Picard number one. Along the way, we show that $f$ always descends to a polarized endomorphism of the Albanese variety Alb(X) of X, and that the pullback of a power of $f$ acts as a scalar multiplication on the Neron-Severi group of X (modulo torsion) when X is smooth and rationally connected. Partial answers about X being of Calabi-Yau type, or Fano type are also given with an extra primitivity assumption on $f$ which seems necessary by an example.

연구 동기 및 목표

• 정규 프로젝티브 다양체의 모든 준-극화된 자기 사상이 실제로 극화된 자기 사상임을 증명하는 것.
• 어떤 등변 위상 유리 사상이라도 극화된 성질이 내림내림됨을 보이는 것.
• 최대 유리적으로 연결된(MRC) 포장이 f-등변으로 만들 수 있으며, 이에 따라 기저에 극화된 자기 사상이 유도되며, 이 기저는 Q-아벨란 다양체임을 보이는 것.
• 경미한 특이점을 가진 다양체에 대해 f-등변으로 최소 모델 프로그램(MMP)을 수행할 수 있으며, 이는 Q-아벨란 다양체 또는 피카르 수가 1인 파코 다양체로 끝남을 보이는 것.
• 극화된 자기 사상의 기본 블록을 피카르 수가 1인 파코 다양체와 Q-아벨란 다양체로 분류하는 것.

제안 방법

• 수치 동치와 큼직한 분할선을 바탕으로 콘 분석을 사용하여 준-극화된 자기 사상이 극화된 자기 사상임을 증명하는 것.
• Nakayama의 구성법을 적용하여 MRC 포장을 f-등변으로 만들며, 기저에 극화된 자기 사상이 유도되도록 보장하는 것.
• 자기 사상의 구조와 수치적 성질을 통해 MRC 포장의 기저가 Q-아벨란 다양체임을 증명하는 것.
• 경미한 특이점을 가진 다양체에 대해 콘 정리와 상대 앰플리티를 사용하여 f-등변으로 최소 모델 프로그램(MMP)을 수행하는 것.
• X가 매끄럽고 유리적으로 연결되어 있을 경우, f의 거듭제곱의 역상이 토션을 제외한 네론-세베르 그룹 위에서 스칼라 곱셈으로 작용함을 보이는 것.
• 분지 분할선과 분할선 수축 분석을 사용하여 자기 사상이 원시적이며 Q-아벨란 유형이 아닐 경우 −K_X가 큼직하다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 준-극화된 자기 사상은 반드시 극화된 자기 사상인가?
• RQ2 등변 위상 유리 사상을 통해 극화된 성질이 내림내림되는가?
• RQ3 극화된 자기 사상이 존재하는 다양체의 최대 유리적으로 연결된(MRC) 포장은 f-등변으로 만들 수 있는가? 그리고 기저의 성격은 무엇인가?
• RQ4 경미한 특이점을 가진 프로젝티브 다양체에 대해 f-등변으로 최소 모델 프로그램을 수행할 수 있는가?
• RQ5 비라지오 분류 기하학적 관점에서 극화된 자기 사상의 기본 블록은 무엇인가?

주요 결과

• 준-극화된 자기 사상은 콘 분석과 수치 동치의 논증을 통해 항상 극화된 자기 사상임이 입증됨.
• 어떤 등변 위상 유리 사상이라도 극화된 성질이 내림내림되며, 이에 따라 (deg f)^dim(Y) = (deg g)^dim(X)의 차수 관계가 성립함.
• f-등변 MRC 포장의 기저는 Q-아벨란 다양체이자, 아벨 다양체의 준-에탈레 몫임을 보임.
• 경미한 특이점을 가진 프로젝티브 다양체에 대해 f-등변 MMP는 Q-아벨란 다양체 또는 피카르 수가 1인 파코 다양체로 끝남.
• 극화된 자기 사상의 블록은 정확히 피카르 수가 1인 파코 다양체와 Q-아벨란 다양체로 구성됨.
• X가 매끄럽고 유리적으로 연결되어 있을 경우, f의 거듭제곱의 역상이 토션을 제외한 네론-세베르 그룹 위에서 스칼라 곱셈으로 작용함.