[논문 리뷰] Polarized endomorphisms of normal projective threefolds in arbitrary characteristic

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 임의의 특성수에서 정규 특수 3차원 대상에 대한 극화된 자기형사(map)를 연구하며, 분리 가능한 $ q $-극화된 자기형사에 대해 반표준 임의의 $ \mathbb{Q} $-카르티에 임의의 다항식과 수치적으로 동치임을 보여준다. 일정 조건 하에서 $ f $-등변 최소 모델 프로그램(MMP)의 실행 가능성을 확립하고, 유리적으로 연결된 3차원 대상에 대해 N\'eron-Severi 군의 토크션 모odulo에서 스칼라 작용을 증명한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a projective variety over an algebraically closed field $k$ of arbitrary characteristic $p \ge 0$. A surjective endomorphism $f$ of $X$ is $q$-polarized if $f^\ast H \sim qH$ for some ample Cartier divisor $H$ and integer $q > 1$. Suppose $f$ is separable and $X$ is $\mathbb{Q}$-Gorenstein and normal. We show that the anti-canonical divisor $-K_X$ is numerically equivalent to an effective $\mathbb{Q}$-Cartier divisor, strengthening slightly the conclusion of Boucksom, de Fernex and Favre (Theorem C) and also covering singular varieties over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Suppose $f$ is separable and $X$ is normal. We show that the Albanese morphism of $X$ is an algebraic fibre space and $f$ induces polarized endomorphisms on the Albanese and also the Picard variety of $X$, and $K_X$ being pseudo-effective and $\mathbb{Q}$-Cartier means being a torsion $\mathbb{Q}$-divisor. Let $f^{Gal}:\overline{X} o X$ be the Galois closure of $f$. We show that if $p>5$ and co-prime to $deg\, f^{Gal}$ then one can run the minimal model program (MMP) $f$-equivariantly, after replacing $f$ by a positive power, for a mildly singular threefold $X$ and reach a variety $Y$ with torsion canonical divisor (and also with $Y$ being a quasi-etale quotient of an abelian variety when $\dim(Y)\le 2$). Along the way, we show that a power of $f$ acts as a scalar multiplication on the Neron-Severi group of $X$ (modulo torsion) when $X$ is a smooth and rationally chain connected projective variety of dimension at most three.

연구 동기 및 목표

• 임의의 특성수에서 정규, $ \mathbb{Q} $-고렌슈타인 특수 3차원 대상에 대해 극화된 자기형사에 대한 결과를 일반화하기 위해.
• 분리 가능하고 $ q $-극화된 자기형사 조건 하에서 $ -K_X $가 효과적인 $ \mathbb{Q} $-카르티에 다항식과 수치적으로 동치임을 확립하기 위해.
• 알바네즈 사상이 대수적 피복 공간임을 보이고, $ f $가 알바네즈 및 피카르 다양체 위에 극화된 자기형사를 유도함을 보여주기 위해.
• $ K_X $가 준효율적이고 $ \mathbb{Q} $-카르티에일 경우 그것이 토크션 $ \mathbb{Q} $-다항식임을 증명하기 위해.
• $ p > 5 $ 및 $ p \nmid \deg f^{Gal} $ 조건 하에서 약간의 특이성을 가진 3차원 대상에 대해 $ f $-등변 MMP를 실행할 수 있도록 하여, 토크션 표준 다항식을 가진 다양체로 도달하기 위해.

제안 방법

• 약한 $ H $가 앰플리피케이션일 때 $ f^*H \sim qH $를 만족하는 $ q $-극화된 자기형사의 사용으로, 다항식에 대한 역학적 제어를 확보하기 위해.
• 분리 가능성과 분지 조건을 분석하기 위해 $ f $의 갈루아 코어 $ f^{Gal} $를 적용하기 위해.
• MMP 과정에서 $ f $-등변성을 확보하기 위해 $ f $를 양의 거듭제곱으로 대체하기 위해.
• 유리적으로 연결된 3차원 대상에 대해, N\'eron-Severi 군의 토크션 모odulo에서 $ f^k $의 스칼라 작용을 보이기 위해.
• 특성수에 특화된 가정을 활용하여, $ f $에 대해 등변적으로 작동하는 최소 모델 프로그램(MMP)을 적용하기 위해.
• 알바네즈 사상의 구조와 $ f $와의 호환성에 기반하여, 전반적인 기하적 제약 조건을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능하고 $ q $-극화된 자기형사 $ f $에 대해, 반표준 다항식 $ -K_X $가 효과적인 $ \mathbb{Q} $-카르티에 다항식과 수치적으로 동치가 되는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 분리 가능하고 $ q $-극화된 자기형사 $ f $ 하에서 $ X $의 알바네즈 사상은 어떻게 행동합니까?
• RQ3 이러한 자기형사 하에서 $ K_X $가 준효율적이고 $ \mathbb{Q} $-카르티에일 경우, 표준 다항식 $ K_X $의 구조는 어떻게 되나요?
• RQ4 특성수 $ p > 5 $ 및 $ p \nmid \deg f^{Gal} $ 조건 하에서, 양의 특성수에서 3차원 대상에 대해 $ f $-등변 MMP를 실행할 수 있나요?
• RQ5 유리적으로 연결된 매끄러운 3차원 대상에 대해, $ f $가 N\'eron-Severi 군의 토크션 모odulo에서 어떻게 작용합니까?

주요 결과

• 분리 가능하고 $ q $-극화된 자기형사에 대해, $ \mathbb{Q} $-고렌슈타인 정규 3차원 대상에서 반표준 다항식 $ -K_X $는 효과적인 $ \mathbb{Q} $-카르티에 다항식과 수치적으로 동치이다.
• X의 알바네즈 사상은 대수적 피복 공간이며, $ f $는 알바네즈 및 피카르 다양체 위에 극화된 자기형사를 유도한다.
• $ K_X $가 준효율적이고 $ \mathbb{Q} $-카르티에일 경우, $ K_X $는 토크션 $ \mathbb{Q} $-다항식이다.
• $ p > 5 $ 및 $ p \nmid \deg f^{Gal} $ 조건 하에서, $ f $를 양의 거듭제곱으로 대체함으로써 $ f $-등변 MMP를 실행할 수 있으며, 이는 토크션 표준 다항식을 가진 다양체 $ Y $로 이어진다.
• 매끄럽고 유리적으로 연결된 3차원 대상에 대해, $ f $의 거듭제곱은 N\'eron-Severi 군의 토크션 모odulo에서 스칼라 곱셈으로 작용한다.
• $ \dim(Y) \leq 2 $일 경우, 결과로 얻어진 다양체 $ Y $는 아벨 다양체의 준에탈 몫이다.