[논문 리뷰] C*-algebras of Boolean inverse monoids - traces and invariant means

Charles Starling|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타이트 군oids가 하우스도르프 조건을 만족할 경우, 부울 역할 모노이드의 불변 평균과 그에 관련된 유니버설 C*-대수의 추적 사이에 일대일 대응을 설정한다. 이는 C*-대수 $ C^{*}_{B}(S) $의 추적 공간이 $ S $의 불변 평균 공간과 동형임을 증명하고, 이를 통해 어떤 메트라이즈블 코흐레프 심플렉스도 어떤 AF 역할 모노이드에 대해 불변 평균의 공간으로 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

To a Boolean inverse monoid $S$ we associate a universal C*-algebra $C_B^*(S)$ and show that it is equal to Exel's tight C*-algebra of $S$. We then show that any invariant mean on $S$ (in the sense of Kudryavtseva, Lawson, Lenz and Resende) gives rise to a trace on $C_B^*(S)$, and vice-versa, under a condition on $S$ equivalent to the underlying groupoid being Hausdorff. Under certain mild conditions, the space of traces of $C_B^*(S)$ is shown to be isomorphic to the space of invariant means of $S$. We then use many known results about traces of C*-algebras to draw conclusions about invariant means on Boolean inverse monoids; in particular we quote a result of Blackadar to show that any metrizable Choquet simplex arises as the space of invariant means for some AF inverse monoid $S$.

연구 동기 및 목표

• 부울 역할 모노이드 $ S $에 대해 유니버설 C*-대수 구축법 $ C^{*}_{B}(S) $를 설정하고, 이가 에클의 타이트 C*-대수와 일치함을 보이기.
• 관련 군oids가 하우스도르프일 경우, $ S $의 불변 평균과 $ C^{*}_{B}(S) $의 추적 사이에 일대일 대응이 성립함을 증명하기.
• 추가 조건(주된 군oids 및 애매한 군oids) 하에서, $ C^{*}_{B}(S) $의 추적 공간이 $ S $의 불변 평균 공간과 동형임을 보이기.
• 결과를 AF 역할 모노이드와 타일링에 적용하여, 어떤 메트라이즈블 코흐레프 심플렉스도 어떤 AF 역할 모노이드에 대해 불변 평균의 공간으로 나타남을 보이기.
• 기존의 C*-대수의 추적에 관한 결과를, 특히 비주기적 타일링과 자기유사 군의 맥락에서, 부울 역할 모노이드의 구조적 성질과 연결하기.

제안 방법

• 부울 역할 모노이드 $ S $의 표현 중 유한한 호환 가능한 합을 보존하는 표현에 대해 $ C^{*}_{B}(S) $를 유니버설 C*-대수로 정의하기.
• 합을 보존하는 표현이 타이트임을 이용하여, $ C^{*}_{B}(S) $가 에클의 타이트 C*-대수 $ C^{*}_{\text{tight}}(S) $와 동형임을 보이기.
• 조건 (H) 하에서 타이트 군oids $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $가 하우스도르프임을 보장하고, 이 조건 하에서 $ E(S) \to [0,\infty) $로 가는 불변 평균 $ \mu $와 $ C^{*}_{B}(S) $의 추적 사이의 대응을 구축하기. 이때 $ e,f $가 수직이면 $ \mu(e \vee f) = \mu(e) + \mu(f) $를 만족한다.
• $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $-불변 측도의 단위 공간에 대한 공간이 불변 평균의 공간과 약한 아핀 동형임을 증명하며, 주요성 또는 애매성 조건과 무관하게 성립함을 보이기.
• $ C^{*}_{B}(S) $와 타이트 군oids의 C*-대수 사이의 동형을 이용하여 추적에 관한 결과를 모노이드 설정으로 이전하기.
• 블랙더의 코흐레프 심플렉스에 관한 결과를 적용하여, 어떤 메트라이즈블 코흐레프 심플렉스도 Bratteli 다이어그램에 관련된 C*-대수를 통해 어떤 AF 역할 모노이드 $ S $에 대해 불변 평균의 공간으로 나타남을 보이기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 호환 가능한 합을 존중하는 부울 역할 모노이드에 대해 유니버설 C*-대수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 부울 역할 모노이드의 불변 평균과 그에 관련된 C*-대수의 추적 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 불변 평균과 추적 사이의 대응이 일대일 대응이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 부울 역할 모노이드의 C*-대수의 추적 공간이 어떤 메트라이즈블 코흐레프 심플렉스도 실현할 수 있는가?
• RQ5 비주기적 타일링과 자기유사 군의 맥락에서 기존의 C*-대수의 추적에 관한 결과가 부울 역할 모노이드의 불변 평균 설정으로 어떻게 번역되는가?

주요 결과

• 부울 역할 모노이드 $ S $의 유니버설 C*-대수 $ C^{*}_{B}(S) $는 에클의 타이트 C*-대수 $ C^{*}_{\text{tight}}(S) $와 동형이며, 이는 표준적인 C*-대수적 실현을 확립한다.
• 조건 (H) 하에서 타이트 군oids $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $가 하우스도르프임을 보장할 경우, $ S $의 모든 불변 평균이 $ C^{*}_{B}(S) $의 추적으로, 반대로 모든 추적도 $ S $의 불변 평균으로 유도된다.
• $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $가 주요성과 애매성 조건을 모두 만족할 경우, 불변 평균과 추적 사이의 대응은 일대일 대응이 된다.
• 항상 $ S $의 불변 평균 공간과 $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $-불변 측도의 단위 공간 사이에 약한 아핀 동형이 존재한다.
• Bratteli 다이어그램에 관련된 AF 역할 모노이드에서 유도된 AF 역할 모노이드에 대해, C*-대수 $ C^{*}_{B}(S) $는 해당 AF C*-대수와 동형이다.
• 블랙더의 코흐레프 심플렉스에 관한 결과를 이용하여, 논문은 어떤 메트라이즈블 코흐레프 심플렉스도 어떤 AF 역할 모노이드 $ S $에 대해 불변 평균의 공간으로 나타남을 결론한다.