[논문 리뷰] Some remarks about the weak containment property for groupoids and semigroups

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 40인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 에탈 군oids와 반군에서 약한 포함 성질을 조사하며, 역반군과 군의 부분반군에 대해 약한 포함 성질(완전 및 축소 C*-대수들이 일치함)이 축소 C*-대수의 핵심성보다 엄밀히 더 약한 성질임을 보여준다. 이는 역반군에서 (2) ⇒ (3)의 함의관계에 대한 반례를 제시하고, 특히 독립성 또는 왼쪽 아메니타리어티 조건 하에서 약한 포함 성질이 핵심성을 유도하는 조건을 확립한다.

ABSTRACT

A locally compact groupoid is said to have the weak containment property if its full $C^*$-algebra coincides with its reduced one. This property is strictly weaker than amenability and is known to be equivalent to amenability for transformation groupoids relative to actions of exact discrete groups. We believe that for general étale groupoids one should have the same equivalence of the two properties under some mild exactness assumption. In this paper we try to support this statement.

연구 동기 및 목표

• 에탈 군oids에 대해 약한 포함 성질이 온건한 정확성 가정 하에서 아메니타리어티를 유도하는지 조사한다.
• 반군에 대한 세 가지 아메니타리어티 개념인 왼쪽 아메니타리어티, 약한 포함 성질, 축소 C*-대수의 핵심성 간의 관계를 명확히 한다.
• 관련 군oids를 사용하여 역반군과 군의 부분반군의 완전 및 축소 C*-대수를 분석한다.
• 역반군에서 약한 포함 성질이 핵심성을 유도하지 않는다는 반례를 제공한다.
• 특히 독립성 또는 왼쪽 아메니타리어티 조건 하에서 약한 포함 성질이 핵심성을 유도하는 충분조건을 확립한다.

제안 방법

• 역반군 $S$ 와 관련된 표준 군oids $\mathcal{G}_S$ 를 사용하여 $S$ 의 C*-대수와 군oids의 C*-대수 간의 관계를 설정한다.
• 군oids C*-대수 이론, 특히 완전 및 축소 C*-대수 이론을 적용하여 약한 포함 성질과 아메니타리어티를 분석한다.
• 클리포드 역반군을 사용한 반례를 구성하여 약한 포함 성질이 축소 C*-대수의 핵심성을 유도하지 않음을 보여준다.
• 신린 리의 정의를 따르되, 군 $G$ 의 부분반군 $P$ 에 대해 $C^*(P)$ 를 $S(P)$ 의 왼쪽 역행렬 구조를 통해 $C^*_0(S(P))$ 로 정의한다.
• 군oids와 반군의 축소 C*-대수 간의 관계를 위해 $h: C^*_r(\mathcal{G}_{S(P)}) \to C^*_r(P)$ 의 전사 준동형사를 사용한다.
• 군oids의 아메니타리어티 및 C*-대수의 핵심성에 관한 결과를 적용하며, 특히 아메니타리어티 군oids가 약한 포함 성질을 가진다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈 군oids에 대해 정확성 가정 하에서 약한 포함 성질이 아메니타리어티를 유도하는가?
• RQ2 역반군에 대해 약한 포함 성질이 축소 C*-대수의 핵심성과 동치인가?
• RQ3 군 $G$ 의 부분반군 $P$ 가 왼쪽 아메니타리어티를 갖는다면 $C^*_r(P)$ 는 핵심성이 있는가?
• RQ4 독립성 조건 하에서 $C^*_r(P)$ 의 핵심성이 $P$ 의 약한 포함 성질을 유도할 수 있는가?
• RQ5 군 $G$ 가 정확할 때, 핵심성 ⇒ 약한 포함 성질 함의관계의 역이 참인가?

주요 결과

• 클리포드 역반군의 비아메니타리어티 성분을 가진 반례를 통해, 역반군에서 약한 포함 성질이 축소 C*-대수의 핵심성을 유도하지 않음을 보였다.
• 반군 $P$ 가 왼쪽 아메니타리어티를 갖는다면, $P$ 가 아메니타리어티일 필요 없이 $C^*_r(P)$ 는 핵심성이 있음을 보였다.
• 만약 $C^*_r(P)$ 가 핵심적이고 $P$ 가 독립성 조건을 만족한다면, $P$ 는 약한 포함 성질을 가진다.
• 군 $G$ 의 부분반군 $P$ 에 대해, $P$ 가 약한 포함 성질을 갖는다면 그에 관련된 역반군 $S(P)$ 도 약한 포함 성질을 갖는다.
• 윌렛의 비아메니타리어티 군oids의 예를 다시 해석하여, 일반적으로 약한 포함 성질이 아메니타리어티 또는 핵심성을 유도하지 않음을 보였다.
• 내부 정확한 에탈 군oids에 대해 약한 포함 성질이 아메니타리어티를 유도하는지 여부는 여전히 열려 있으며, 이는 이전에 주장된 증명이 복구 불가능한 것으로 밝혀졌기 때문이다.