[논문 리뷰] C*-algebras of commuting endomorphisms

Valentin Deaconu|ArXiv.org|2004. 06. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 공간 위의 두 가환하는 연속적인 열린 전사 사상으로부터 C*-대수를 구성하며, 힐버트 이중모듈러스의 곱계열과 쿤츠-핌스너 대수를 사용하여 군oids C*-대수를 일반화한다. 지도가 국소 위상동형사상일 경우 쿤츠-핌스너 대수와 군oids C*-대수가 서로 동형임을 증명하며, 이는 랭크-두 그래프, 부분시퀀스, 버누이 이동에서의 구성들을 확장한다.

ABSTRACT

Given a compact space X and two commuting continuous open surjective maps sigma_1, sigma_2 : X --> X, we construct certain C*-algebras that reflect the dynamics of the N^2-action. When the maps sigma_1, sigma_2 are local homeomorphisms, these are groupoid algebras, but in general, we will use a Cuntz-Pimsner algebra associated to a product system of Hilbert bimodules in the sense of Fowler. The motivating example for our construction is the dynamical system associated with a rank two graph by Kumjian and Pask. We consider also a two-dimensional subshift of Ledrappier, the case of two covering maps of the circle, and the two-dimensional Bernoulli shift.

연구 동기 및 목표

• 두 가환하는 연속적인 열린 전사 사상이 컴팩트 공간 위에 정의한 다이나믹스 시스템을 일반화하여 군oids C*-대수를 확장한다.
• 국소 위상동형사상이 아닌 내부자들에 대해 $\mathbb{N}^2$ 위의 힐버트 이중모듈러스 곱계열을 이용한 쿤츠-핌스너 대수의 구성 방법을 개발한다.
• 힐버트 이중모듈러스와 조건부 기대를 사용하여 내부자에 의한 반군의 작용에 의한 교차곱을 통합하고 확장한다.
• 내부자가 국소 위상동형사상일 경우 구성된 쿤츠-핌스너 대수와 군oids C*-대수가 서로 동형임을 확립한다.
• 핵심 예시인 랭크-두 그래프, 레드라피에르 부분시퀀스, 원판 덮개 사상, 이차원 버누이 이동에 이 틀을 적용한다.

제안 방법

• 모든 $n \in \mathbb{N}^2$ 에 대해 $R_n = \{(x,y) \in X \times X \mid \sigma^n x = \sigma^n y\}$ 과 같은 동치관계를 정의하고, $R = \bigcup_n R_n$ 에 인덕티브 극한 위상을 부여한다.
• 작업 $ (x,k,y) \cdot (y,l,z) = (x,k+l,z) $ 와 역원 $ (x,k,y)^{-1} = (y,-k,x) $ 를 갖는 군oids $\Gamma = \{(x, p-q, y) \in X \times \mathbb{Z}^2 \times X \mid \sigma^p x = \sigma^q y\}$ 를 구성한다.
• 유한한 섬유의 경우 조건부 기대 $\mathcal{P}_i$ 를 통해 전이 연산자를 사용하며, $({\cal P}_i f)(x) = \frac{1}{\nu_i(x)} \sum_{\sigma_i(y)=\sigma_i(x)} f(y)$ 로 정의하고, 무한한 섬유의 경우 측도 $\mu^i_x$ 에 대한 적분으로 정의한다.
• 곱계열의 힐버트 이중모듈러스를 $E_{(m,n)} = E_{(1,0)}^{\otimes m} \otimes_A E_{(0,1)}^{\otimes n}$ 으로 구성하며, 여기서 $E_{(1,0)} = A(\alpha_1, \mathcal{P}_1)$ 이고 $E_{(0,1)} = A(\alpha_2, \mathcal{P}_2)$ 이다.
• 포웰의 곱계열 이론과 쿤츠-핌스너 대수 이론을 적용하여 $\mathcal{O}_E$ 를 쿤츠-핌스너 캐리어 표현을 생성하는 유일한 C*-대수로 정의한다.
• 만약 $\sigma_1, \sigma_2$ 가 국소 위상동형사상이라면 $\mathcal{O}_E \cong C^*(\Gamma)$ 임을 증명하며, $\mathcal{P}_1 \circ \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_2 \circ \mathcal{P}_1$ 이 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 가환하는 연속적인 열린 전사 사상이 컴팩트 공간 위에 정의한 $\mathbb{N}^2$-작용의 동역학을 반영하는 C*-대수는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 힐버트 이중모듈러스의 곱계열에 대응하는 쿤츠-핌스너 대수와 관련 동치관계의 군oids C*-대수가 언제 일치하는가?
• RQ3 전이 연산자와 조건부 기대는 힐버트 이중모듈러스의 내적과 모듈러스 작용을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 다이나믹스 시스템의 최소성과 본질적 자유성의 성질은 결과적으로 얻어진 C*-대수의 단순성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 쿤츠-핌스너 대수가 언제 토플리츠 대수와 동형이 되며, 언제 순수하게 무한한가?

주요 결과

• 만약 $\sigma_1$ 와 $\sigma_2$ 가 국소 위상동형사상이라면, 힐버트 이중모듈러스의 곱계열에 대응하는 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_E$ 는 군oids C*-대수 $C^*(\Gamma)$ 와 동형이다.
• 조건부 기대 $\mathcal{P}_i$ 는 서로 교환 가능하다: $\mathcal{P}_1 \circ \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_2 \circ \mathcal{P}_1$ 이며, 이는 곱계열 구성의 일관성을 보장한다.
• 집합 $X = \{0,1\}^{\mathbb{N}^2}$ 에서의 이차원 버누이 이동의 경우, 결과적으로 얻어진 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_E$ 는 섬유 측도가 유한 집합에 지지되지 않기 때문에 토플리츠 대수 $\mathcal{T}_E$ 와 동형이다.
• 만약 $\sigma_i$ 가 자명사상이라면, 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_E$ 는 교차곱 $A \rtimes_{\alpha_1,\alpha_2} \mathbb{Z}^2$ 와 동형이며, 반복된 피姆스너 구성으로 복원 가능하다.
• 모든 $R_n$ 이 r-이산적이라면 군oids $\Gamma$ 는 국소 콪팩트 하우스도르프 군oids이며, 하어 시스템을 갖는다. 이 조건은 $\sigma_i$ 가 국소 위상동형사상일 때 성립한다.
• $\mathbb{N}^2$-작용이 최소적이라면 $C^*(R)$ 는 단순하다; 만약 본질적으로 자유롭다면 $C^*(\Gamma)$ 도 단순하다. 이는 레누아르의 본질적으로 주목적 군oids에서의 이상체 특성화에 따른다.