[논문 리뷰] Product systems of graphs and the Toeplitz algebras of higher-rank graphs

Iain Raeburn, Aidan Sims|arXiv (Cornell University)|2003. 05. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 74

한 줄 요약

이 논문은 semigroup, 특히 N^k 위에서의 그래프의 product system을 사용하여 Cuntz-Krieger 대수와 그 Toeplitz 유사체를 고차수 그래프로 일반화한다. Hilbert bimodule의 product system을 구성하고, 특히 무한 발산자를 가진 유한으로 정렬된 k-그래프의 Toeplitz 대수에 대해 유일성 정리를 수립한다. 이는 대각 기대를 분석하고, 비행렬 유한한 구조를 고려한 강화된 Cuntz-Krieger 관계 하에서 충실성(faithfulness)을 증명함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

There has recently been much interest in the $C^*$-algebras of directed graphs. Here we consider product systems $E$ of directed graphs over semigroups and associated $C^*$-algebras $C^*(E)$ and $\mathcal{T}C^*(E)$ which generalise the higher-rank graph algebras of Kumjian-Pask and their Toeplitz analogues. We study these algebras by constructing from $E$ a product system $X(E)$ of Hilbert bimodules, and applying recent results of Fowler about the Toeplitz algebras of such systems. Fowler's hypotheses turn out to be very interesting graph-theoretically, and indicate new relations which will have to be added to the usual Cuntz-Krieger relations to obtain a satisfactory theory of Cuntz-Krieger algebras for product systems of graphs; our algebras $C^*(E)$ and $\mathcal{T}C^*(E)$ are universal for families of partial isometries satisfying these relations. Our main result is a uniqueness theorem for $\mathcal{T}C^*(E)$ which has particularly interesting implications for the $C^*$-algebras of non-row-finite higher-rank graphs. This theorem is apparently beyond the reach of Fowler's theory, and our proof requires a detailed analysis of the expectation onto the diagonal in $\mathcal{T}C^*(E)$.

연구 동기 및 목표

• 비행렬 유한하지 않은 고차수 그래프로 Cuntz-Krieger 대수와 그 Toeplitz 유사체의 이론을 확장하는 것.
• Toeplitz-Cuntz-Krieger 가족을 사용하여 그래프의 product system에 대한 보편 C*-대수를 정의하고, Nica-공변 표현과의 호환성을 확보하는 것.
• Fowler의 이론를 적용할 수 있도록 관련 Hilbert bimodule의 product system이 컴팩트하게 정렬되어 있는 조건을 규명하는 것.
• 무한 발산자를 가진 k-그래프의 Toeplitz 대수에 대해 날카로운 유일성 정리를 수립하여 이전 결과의 한계를 극복하는 것.

제안 방법

• 특히 N^k 위에서의 유한으로 정렬된 directed graph의 product system E로부터 Hilbert bimodule의 product system X(E)를 구성하는 것.
• Toeplitz-E-family를 정의하고, X(E)의 Toeplitz 표현과의 일대일 대응을 수립하는 것.
• X(E)가 컴팩트하게 정렬되어 있는 조건을 유한으로 정렬된 product system E로 특성화하여, Fowler의 이론을 Nica-공변 표현에 적용할 수 있도록 하는 것.
• 표준적인 투영의 합 조건을 대체하여, 투영의 곱의 양성성을 포함하는 강화된 Cuntz-Krieger 관계를 도입하는 것.
• T*C(E)의 대각 기대를 분석하여, 새로운 관계 하에서 표현의 충실성을 증명하는 것.
• Z^k의 애매성과 유한한 간선 집합을 피하는 장거리 경로의 존재를 이용하여, 특정 투영의 곱이 0이 아니라는 것을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비행렬 유한하지 않은 고차수 그래프로 Cuntz-Krieger 대수와 그 Toeplitz 유사체를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 그래프의 product system이 관련 Hilbert bimodule를 컴팩트하게 정렬시키는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 비행렬 유한한 k-그래프에 대해 Cuntz-Krieger 관계의 올바른 일반화는 무엇인가?
• RQ4 각 정점에서 유한한 수의 간선을 가지는 경우가 아닌, 무한한 간선을 가진 정점이 있는 k-그래프의 Toeplitz 대수에 대해 날카로운 유일성 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 비행렬 유한한 경우에서, Toeplitz 대수의 대각 기대는 표현의 충실성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 논문은 유한으로 정렬된 그래프의 product system에 대해 보편적인 Toeplitz 대수 T*C(E)를 정의하며, 이는 Toeplitz-Cuntz-Krieger E-family에 의해 생성된다.
• 새로운 Cuntz-Krieger 관계가 규명된다: 각 정점 v와 s^{-1}_{e_m}(v)에 포함된 유한 집합 G_m ⊂ s^{-1}_{e_m}(v)에 대해, ∏_{m=1}^k (t_v - ∑_{λ∈G_m} t_λ t_λ^*) > 0 이다.
• 이 강화된 관계는 k-그래프에서 모든 v와 i에 대해 |Λ^{e_i}(v)| = ∞ 라면 표현의 충실성에 대해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 주요 유일성 정리는 이러한 k-그래프에서, 비영인 정점 투영을 가진 Cuntz-Krieger 가족이 C*(E)의 충실한 표현을 생성한다는 것을 보여준다.
• 증명은 특정 유한한 간선 집합을 피하는 degree ∑_{i=1}^k e_i 를 가진 경로 μ_k를 구성하는 데 의존하며, 이로 인해 t_μ_k t_μ_k^* 가 0이 아니고, 투영의 곱에 대해 유지된다는 것을 보장한다.
• 결과적으로, k-그래프가 원천이 없고 각 정점에서 각도의 간선을 무한히 발산시키는 경우, T*C(E) = C*(E) 임을 보여주며, 이 경우 Toeplitz와 Cuntz-Krieger 대수를 통합한다.