[논문 리뷰] C\'EV: Constant L\'evylasticity of Variance

Matthew Lorig|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 06.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 국소 시간에 의존하는 드리프트, 확산, 파산 강도 및 Lévy 측도를 갖는 지수 Lévy 유형 모델인 C'EV를 소개한다. 이 모델은 정규 섭동 이론과 푸리에 분석을 통해 유럽 옵션 가격과 임의의 볼라티리티에 대한 급수 전개를 가능하게 하며, 정확한 조건 하에서 수렴을 보장한다. 또한 CEV 유사 Lévy 프레임워크 내에서 통합이 필요 없는 명시적 임의의 볼라티리티 공식을 제공하며, S&P 500 임의의 볼라티리티 표면에 매우 잘 맞춘다.

ABSTRACT

We consider a class of assets whose risk-neutral pricing dynamics are described by an exponential Levy-type process subject to default. The class of processes we consider features locally-dependent drift, diffusion and default-intensity as well as a locally-dependent Levy measure. Using techniques from regular perturbation theory and Fourier analysis, we derive a series expansion for the price of a European-style option. We also provide precise conditions under which this series expansion converges to the exact price. Additionally, for a certain subclass of assets in our modeling framework, we derive an expansion for the implied volatility induced by our option pricing formula. The implied volatility expansion is exact within its radius of convergence. As an example of our framework, we propose a class of CEV-like Levy-type models. Within this class, approximate option prices can be computed by a single Fourier integral and approximate implied volatilities are explicit (i.e., no integration is required). Furthermore, the class of CEV-like Levy-type models is shown to provide a tight fit to the implied volatility surface of S{&}P500 index options.

연구 동기 및 목표

• 파산 가능성이 있는 자산의 국소 시간에 의존하는 동적 특성을 갖는 융통성 있는 Lévy 유형 모델의 개발.
• 정규 섭동 이론과 푸리에 분석을 활용한 유럽 옵션 가격에 대한 급수 전개 유도.
• 옵션 가격 전개의 정확한 수렴 조건 설정.
• 수렴 반경 내에서 정확한 급수 전개를 갖는 임의의 볼라티리티에 대한 전개 유도.
• 단일 푸리에 적분을 통한 옵션 가격 신속 계산과 명시적 임의의 볼라티리티 공식을 가능하게 하는 CEV 유사 Lévy 모델 제안.

제안 방법

• 국소 시간에 의존하는 드리프트, 확산, 파산 강도 및 Lévy 측도를 갖는 지수 Lévy 과정을 사용해 자산 동역학 모델링.
• 작은 매개변수의 거듭제곱으로 옵션 가격을 전개하기 위해 정규 섭동 이론 적용, 점근적 근사 가능.
• 옵션 가격을 단일 푸리에 적분으로 표현하여 수치 계산 용이성 확보.
• 가격 공식의 역을 취해 임의의 볼라티리티 전개를 도출하며, 수렴 반경 내에서 정확성 확보.
• CEV 모델과 유사하지만 Lévy 과정으로 확장된 하위 클래스 모델 구축, 해석적 취급 가능성 유지.
• S&P 500 지수 옵션에 대한 캘리브레이션과 임의의 볼라티리티 표면 평가를 통한 모델의 시장 데이터 적합도 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 시간에 의존하는 매개변수를 갖는 일반적인 Lévy 유형 모델이 유럽 옵션 가격에 대해 수렴하는 급수 전개를 지원할 수 있는가?
• RQ2 옵션 가격 전개가 정확한 가격으로 수렴하는 정확한 수학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 가격 공식에 의해 유도된 임의의 볼라티리티는 유한한 수렴 반경 내에서 정확한 방식으로 전개될 수 있는가?
• RQ4 제안된 CEV 유사 Lévy 모델은 수치 적분 없이도 닫힌 형태 또는 근사 닫힌 형태의 임의의 볼라티리티 계산을 가능하게 하는가?
• RQ5 CEV 유사 Lévy 모델은 S&P 500 지수 옵션의 관측된 임의의 볼라티리티 표면에 얼마나 잘 맞는가?

주요 결과

• 모델의 국소 특성에 기반한 정확한 수학적 조건 하에서 옵션 가격 급수 전개는 정확한 가격으로 수렴한다.
• 특정 하위 클래스 모델에서, 임의의 볼라티리티 전개는 수렴 반경 내에서 정확하여 고정밀도 해석적 근사가 가능하다.
• CEV 유사 Lévy 모델에서 근사 옵션 가격은 단일 푸리에 적분을 통해 계산 가능하여 계산 효율성이 크게 향상된다.
• CEV 유사 모델에서의 임의의 볼라티리티는 명시적으로 닫힌 형태로 제공되어 수치 적분이 필요 없다.
• CEV 유사 Lévy 모델은 S&P 500 지수 옵션의 관측된 임의의 볼라티리티 표면에 매우 잘 맞추어져 있어 강력한 실증적 관련성을 보인다.
• 이 프레임워크는 해석적 취급 가능성과 시장 캘리브레이션 잠재력을 유지하면서도 CEV 모델을 Lévy 과정으로 일반화하는 데 성공했다.