[논문 리뷰] $C^k$-smooth approximations of LUR norms

Petr Hájek, A. Procházka|ArXiv.org|2009. 01. 23.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 WCG 바나흐 공간에서 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름을 갖는 경우, 동시에 $C^1$-프레셰 미분 가능하고 국소적으로 균일하게 둥근(LUR), 그리고 유계 집합에서 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능한 동치 노름이 존재함을 증명한다. $X = C([0,\alpha])$인 경우, 동일한 결과가 $k = \infty$로 성립하며, 좌표별로 미분 가능한 함수와 분할 단위를 사용한 새로운 구성 방법을 통해 두 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a WCG Banach space admitting a $C^k$-Fr\' echet smooth norm. Then $X$ admits an equivalent norm which is simultaneously $C^1$-Fr\' echet smooth, LUR, and a uniform limit of $C^k$-Fr\' echet smooth norms. If $X=C([0,α])$, where $α$ is an ordinal, then the same conclusion holds true with $k=\infty$.

연구 동기 및 목표

• WCG 바나흐 공간이 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름을 갖는 경우, 이 노름이 $C^1$-프레셰 미분 가능하고 LUR이며, $C^k$-미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능한 동치 노름을 갖는지 여부를 해결하는 것.
• 이 결과를 공간 $C([0,\alpha])$로 확장하여, $C^\infty$-미분 가능하고 LUR이며, $C^k$-미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능한 노름이 존재함을 보이는 것.
• 좌표별로 미분 가능한 함수와 분할 단위를 사용한 구조적 방법을 제시하여 이러한 노름을 생성하는 것.
• $C([0,\omega_1])$와 같이 이중 LUR 노름이 존재하지 않는 공간에서도 $C^1$-미분 가능하고 LUR인 노름이 동시에 존재할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 인덱스 집합 $\Gamma$의 유한 부분집합에 대한 사영을 기반으로 좌표별로 미분 가능한 잘라내기 함수와 분할 단위를 사용하여 $C^k$-미분 가능한 함수 $J_{i,n,m,i}$의 수열을 구성한다.
• 합의 제곱 $\tilde{J}_i$의 하위레벨 집합과 관련된 민코프스키 기능 $J_i$를 정의하며, 은둔함수정리에 의해 $J_i$가 $C^k$-미분 가능함을 보장한다.
• 유한차원 사영 근처에서 노름의 행동을 국소화하기 위해 가족 $\xi_{\delta_n}$를 사용하여 유계 집합에서의 균일 수렴을 확보한다.
• 중간 함수 $H_{n,m}x$의 수렴을 제어하고 변형에 대한 안정성을 확보하기 위해 레마 5.6과 레마 5.3을 적용한다.
• 유계 집합에서 $\tilde{J}_i$가 $\tilde{J}$로 수렴하는 균일 수렴을 $\ell^1$-summable 가중치 $\frac{1}{2^{j+n+m}}$를 포함한 추정을 통해 확립한다.
• 노름 비율 $\lambda_i = d_i/c_i$를 포함한 모순 추론을 통해 $J_i \to J$가 유계 집합에서 균일 수렴함을 증명하며, 추정 $|\lambda - 1| \leq 2|\tilde{J}(\lambda x) - 1/2|$를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 WCG 바나흐 공간에서 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름을 갖는 경우, 이 노름이 동시에 $C^1$-프레셰 미분 가능하고 LUR이며, $C^k$-미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능한 동치 노름을 갖는가?
• RQ2 $C([0,\alpha])$ 공간은 임의의 순서수 $\alpha$에 대해 $C^\infty$-미분 가능하고 LUR이며, $C^k$-미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능한 노름을 갖는가?
• RQ3 이중 LUR 노름이 존재하지 않는 공간, 예를 들어 $C([0,\omega_1])$에서 $C^1$-프레셰 미분 가능하고 LUR인 노름을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ4 $C^k$-미분 가능 노름들에 의한 균일한 근사를 유지하면서 강한 둥근 성질과 미분 가능성 두 가지를 동시에 확보할 수 있는가?
• RQ5 $C([0,\alpha])$에서 $C^1$-미분 가능하고 LUR인 노름들이 동치 노름 공간 내에서 조밀하거나 잔여적인가?

주요 결과

• 모든 WCG 바나흐 공간에서 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름을 갖는 경우, 동시에 $C^1$-프레셰 미분 가능하고 LUR이며, 유계 집합에서 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능한 동치 노름이 존재한다.
• $X = C([0,\alpha])$인 경우, 동일한 결론이 $k = \infty$로 성립하며, 이는 노름이 $C^\infty$-미분 가능하고 $C^k$-미분 가능 노름들에 의해 균일하게 근사 가능함을 의미한다.
• 구성된 노름 $J$는 $C^k$-프레셰 미분 가능 노름들 $J_i$의 유계 집합에서의 균일한 극한이며, $J_i \to J$는 $X$의 유계 부분집합에서 균일 수렴한다.
• 이 구성은 이중 LUR 노름에 의존하지 않아, $C([0,\omega_1])$와 같이 이중 LUR 노름이 존재하지 않는 공간에서도 $C^1$-미분 가능하고 LUR인 노름의 존재를 가능하게 한다.
• 은둔함수정리에 의해 모든 $i$에 대해 $J_i$가 $C^k$-미분 가능하며, $\tilde{J}_i$는 유한 합으로서 $C^k$-미분 가능 함수들의 합이므로 $C^k$-미분 가능하다.
• 증명은 $\ell^1$-summable 가중치와 차이 $|J_{j,n,m,i}^2(x) - J_{j,n,m}^2(x)|$에 대한 추정을 사용하여 열린 단위구에서 $\tilde{J}_i$가 $\tilde{J}$로 수렴하는 균일 수렴을 확립한다.