[논문 리뷰] Calibration of imperfect mathematical models by multiple sources of data with measurement bias

Mengyang Gu, K. R. Anderson|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 27.

Soil Geostatistics and Mapping참고 문헌 42인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 여러 데이터 소스를 함께 사용하여 측정 편향과 모형 이질성을 동시에 모델링함으로써 불완전한 수학적 모형의 校정을 향상시키기 위해 스케일링된 가우시안 스토하스틱 프로세스(S-GaSP)를 제안한다. 표준 가우시안 스토하스틱 프로세스(GaSP)와 달리, S-GaSP는 모형과 현실 간의 L₂ 손실이 작은 해를 우선시하는 비증가성 스케일링 함수를 사용한다. 이는 무한한 데이터가 존재할 때도 일관된 매개변수 추정을 가능하게 하며, 인공위성 간섭계를 이용한 키라우에아 화산의 지질물리 모형에서 검증되었다.

ABSTRACT

Model calibration involves using experimental or field data to estimate the unknown parameters of a mathematical model. This task is complicated by discrepancy between the model and reality, and by possible bias in the data. We consider model calibration in the presence of both model discrepancy and measurement bias using multiple sources of data. Model discrepancy is often estimated using a Gaussian stochastic process (GaSP), but it has been observed in many studies that the calibrated mathematical model can be far from the reality. Here we show that modeling the discrepancy function via a GaSP often leads to an inconsistent estimation of the calibration parameters even if one has an infinite number of repeated experiments and infinite number of observations in a fixed input domain in each experiment. We introduce the scaled Gaussian stochastic process (S-GaSP) to model the discrepancy function. Unlike the GaSP, the S-GaSP utilizes a non-increasing scaling function which assigns more probability mass on the smaller $L_2$ loss between the mathematical model and reality, preventing the calibrated mathematical model from deviating too much from reality. We apply our technique to the calibration of a geophysical model of K\={\i}lauea Volcano, Hawai`i, using multiple radar satellite interferograms. We compare the use of models calibrated using multiple data sets simultaneously with results obtained using stacks (averages). We derive distributions for the maximum likelihood estimator and Bayesian inference, both implemented in the RobustCalibration package available on CRAN. Analysis of both simulated and real data confirm that our approach can identify the measurement bias and model discrepancy using multiple sources of data, and provide better estimates of model parameters.

연구 동기 및 목표

• 모형 이질성과 측정 편향이 동시에 존재할 때 표준 GaSP가 불일관된 校정을 초래하는 문제를 해결하기 위해.
• 모형과 현실 간의 L₂ 손실 최소화를 통해 현실에 가까운 모형을 우선시함으로써 무한한 데이터 하에서도 일관된 매개변수 추정을 보장하는 방법을 개발하기 위해.
• 반복 실험과 다양한 관측 자료를 포함한 다수의 데이터 소스를 공동으로 사용하여 편향과 이질성을 더 효과적으로 식별할 수 있도록 연계된 校정을 가능하게 하기 위해.
• 최대우도와 베이지안 추론를 통해 보정된 모형에서의 불확실성 정량화를 통계적으로 타당한 프레임워크로 제공하기 위해.
• 실제 지구물리학적 데이터, 특히 인공위성 간섭계를 이용한 키라우에아 화산 변형 모델링을 통해 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 모형과 현실 간의 L₂ 손실의 비증가성 스케일링 함수를 사용하여 이질성 함수의 사전 공분산을 수정하는 스케일링된 가우시안 스토하스틱 프로세스(S-GaSP)를 도입한다.
• 스케일링 함수를 통해 L₂ 손실이 작은 모형에 더 높은 사전 확률을 할당함으로써 관측된 현실에서의 큰 이탈을 억제한다.
• 측정 편향과 모형 이질성을 모두 고려한 공동 우도 모형을 설정하여 校정 매개변수에 대한 동시에 추론이 가능하도록 한다.
• S-GaSP 프레임워크 하에서 최대우도 추정기와 사후 분포를 유도하여 빈도주의 및 베이지안 추론을 모두 수행한다.
• 실용적 적용과 재현 가능성을 위해 CRAN에 배포된 RobustCalibration R 패키지에 이 방법을 구현한다.
• 모의 데이터와 키라우에아 화산의 실제 레이더 위성 간섭계 자료를 사용하여, 다수의 데이터 소스를 동시에 사용한 校정과 데이터를 쌓아 평균화한 방식을 비교함으로써 접근법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모형 이질성과 측정 편향이 동시에 존재할 때, 이질성에 대한 가우시안 프로세스 모형이 일관된 校정 매개변수 추정을 수행할 수 있는가?
• RQ2 S-GaSP에서 비증가성 스케일링 함수를 사용할 경우, 무한한 데이터 하에서 표준 GaSP에 비해 매개변수 추정의 일관성이 향상되는가?
• RQ3 반복 측정과 같은 다양한 데이터 소스를 함께 사용할 경우, 데이터를 쌓아 평균화하는 것보다 편향과 이질성을 더 효과적으로 식별할 수 있는가?
• RQ4 S-GaSP 프레임워크는 키라우에아 화산 변형과 같은 실제 지구물리학적 모델링에 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ5 S-GaSP 모형 하에서 최대우도 추정기와 베이지안 추정기의 유한표본 성질은 어떠한가?

주요 결과

• 표준 GaSP는 무한한 데이터가 존재하더라도 모형 이질성이 크기 때문에 일관된 校정 매개변수 추정을 하지 못한다.
• S-GaSP 프레임워크는 모형과 현실 간의 L₂ 손실이 작은 모형에 더 높은 사전 확률을 할당함으로써 일관된 추정을 보장한다.
• 모의 및 실제 데이터 모두에서 측정 편향을 성공적으로 식별하고 보정함으로써 모형의 정확도를 향상시켰다.
• 다양한 데이터 소스를 동시에 사용한 校정은 데이터를 쌓아 평균화하는 것보다 우수한 성능을 보였으며, 특히 편향 탐지와 불확실성 감소에 유리했다.
• RobustCalibration R 패키지는 실용적 구현과 통계적 추론을 가능하게 하였으며, 키라우에아 화산의 실제 인공위성 간섭계 자료에서 성능이 입증되었다.
• 실증 분석을 통해 S-GaSP는 표준 GaSP나 데이터를 쌓는 방식보다 더 나은 매개변수 추정과 더 신뢰할 수 있는 불확실성 정량화를 제공하는 것으로 확인되었다.