[논문 리뷰] Can quantum Monte Carlo simulate quantum annealing?

Evgeny Andriyash, M. H. S. Amin|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 27.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 1인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 양자 몽테카를로(QMC)가 양자 냉각(QA)을 정확하게 시뮬레이션할 수 있다는 개념에 도전하며, 과도한 괴리로 인해 여러 호모토플리-불일치하는 터널링 경로가 존재할 경우 비결합 터널링이 QMC를 능가할 수 있음을 보여준다. WKB 근사 이외의 섭동 이론을 사용하여, 이론적으로 이러한 과도한 괴리 시스템에서 비결합 터널링이 QMC보다 지수적 우위를 점할 수 있음을 입증한다. 이는 이전에 QMC와 QA 간의 스케일링 동등성이 있다고 가정된 바를 무너뜨린다.

ABSTRACT

Recent theoretical and experimental studies have suggested that quantum Monte Carlo (QMC) simulation can behave similarly to quantum annealing (QA). The theoretical analysis was based on calculating transition rates between local minima, in the large spin limit using WentzelKramers-Brillouin (WKB) approximation, for highly symmetric systems of ferromagnetically coupled qubits. The rate of transition was observed to scale the same in QMC and incoherent quantum tunneling, implying that there might be no quantum advantage of QA compared to QMC other than a prefactor. Quantum annealing is believed to provide quantum advantage through large scale superposition and entanglement and not just incoherent tunneling. Even for incoherent tunneling, the scaling similarity with QMC observed above does not hold in general. Here, we compare incoherent tunneling and QMC escape using perturbation theory, which has much wider validity than WKB approximation. We show that the two do not scale the same way when there are multiple homotopy-inequivalent paths for tunneling. We demonstrate through examples that frustration can generate an exponential number of tunneling paths, which under certain conditions can lead to an exponential advantage for incoherent tunneling over classical QMC escape. We provide analytical and numerical evidence for such an advantage and show that it holds beyond perturbation theory.

연구 동기 및 목표

• 양자 몽테카를로(QMC)가 실제로 다중 터널링 경로가 존재하는 경우 양자 냉각(QA)을 정확히 시뮬레이션할 수 있는지 조사하는 것.
• 이전 연구에서 QMC와 QA의 전이율 스케일링이 유사하다고 제안한 WKB 근사를 통해 유도된 결과의 타당성을 도전하는 것.
• 여러 터널링 경로가 존재할 경우 QA의 비결합 터널링이 QMC보다 지수적 우위를 보일 수 있는지 확인하는 것.
• QMC 시뮬레이션보다 QA가 더 뛰어난 성능을 보일 수 있는 조건을 규명하는 것, 특히 계수 항의 차이를 넘어서서이다.

제안 방법

• 저자들은 대규모 스핀 WKB 근사를 사용하지 않고, 저에너지 부분공간에서 비섭동 섭동 이론을 적용하여 터널링 속도를 분석한다.
• 투사 연산자 P와 P̄를 사용하여 저에너지 부분공간에 대한 효과적 해밀토니안을 유도함으로써 국소 상태 간의 동역학을 분리한다.
• 분할 함수 Z₀와 Z_B는 b₀(터널링 강도) 및 그 도함수의 급수 전개를 통해 계산되며, 고에너지 상태를 통과하는 고리 기여를 포함한다.
• 이 방법은 초기 상태와 최종 상태를 고에너지 상태를 통해 연결하는 모든 경로에 대해 합산함으로써 다중 호모토플리-불일치하는 터널링 경로를 명시적으로 고려한다.
• 효과적 해밀토니안의 두 번째로 낮은 고유값을 계산하여 터널 분열 g와 에너지 이동 E₀ + δE₀를 추출함으로써 분할 함수를 결정한다.
• 수치적 증거와 자유 에너지 및 분할 함수에 대한 해석적 표현을 사용하여 섭동 이론 외부에서도 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 터널링 경로가 존재하는 시스템에서 양자 몽테카를로(QMC)가 양자 냉각(QA)을 정확히 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 이전에 WKB 근사를 통해 관찰된 QMC와 비결합 터널링 간의 스케일링 유사성은 대규모 스핀 한계를 넘어서도 유지되는가?
• RQ3 스핀 시스템의 과도성은 지수적 수의 터널링 경로를 생성하여 QA가 QMC보다 지수적 우위를 점할 수 있는가?
• RQ4 여러 호모토플리-불일치 경로가 존재할 경우 QMC와 QA 간의 전이율 동등성은 탄탄한가?
• RQ5 비결합 터널링이 QMC 시뮬레이션보다 뛰어나지 못할 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 여러 호모토플리-불일치하는 터널링 경로가 존재할 경우 QMC와 비결합 터널링 간의 전이율 스케일링이 일치하지 않으며, 이는 이전의 WKB 기반 결론을 무효화한다.
• 과도성은 지수적 수의 터널링 경로를 생성할 수 있으며, 이는 특정 시스템에서 비결합 터널링이 QMC보다 지수적 우위를 점할 수 있음을 의미한다.
• 이 연구에서 사용된 섭동 이론 접근법은 주요 차수의 터널링 강도 g가 고차수 항에 의해 재규격화됨을 보여주며, g = b₀ / (1 − a′)로 표현되며, 여기서 a′는 자기에너지의 도함수이다.
• 국소 분할 함수 Z₀와 경계 분할 함수 Z_B는 b₀ 및 그 도함수의 급수 전개로 유도되며, 고에너지 상태를 통과하는 모든 고리 경로의 기여를 포함한다.
• 수치적 및 해석적 증거는 비결합 터널링이 QMC보다 지수적 우위를 보이는 것이 섭동 영역 외부에서도 유지됨을 확인한다.
• 이 연구는 QMC가 일반적으로 QA를 시뮬레이션할 수 없음을 입증하며, 특히 터널링 경로의 다양성이 계수 항을 넘어서는 양자 우위를 가능하게 하는 과도한 시스템에서는 더욱 그렇다.