[논문 리뷰] Capping off open books and the Ozsvath-Szabo contact invariant

John A. Baldwin|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 24.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 capping-off 3-manifold의 음수의 $HF^+$와 원래의 3-manifold 사이에 $U$--equivariant 맵을 수립함으로써, 오즈바스-수바의 접촉 불변량 $c^+$ 가 open books의 경계 성분을 capping-off할 때 유지됨을 보여준다. 주요 결과는 $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$ 를 $c^+(S_{g,r},\phi)$ 로 보내는 cobordism 유도 맵이며, 이는 다수의 경계 성분을 가진 계수 1 open books에서의 tightness와 fillability에 대한 새로운 고전을 가능하게 한다.

ABSTRACT

If (S,h) is an open book with disconnected binding then we can form a new open book (S',h') by capping off one of the boundary components of S with a disk. We define a U-equivariant map on Heegaard Floer homology which sends c^+(S',h') to c^+(S,h), and we discuss various applications. In particular, we determine the support genera of almost all contact structures compatible with genus one, one boundary component open books. In addition, we compute the 3-dimensional invariant associated to any contact structure with non-vanishing contact invariant which is compatible with a genus one open book with periodic monodromy.

연구 동기 및 목표

• open book 분해에서 경계 성분을 capping-off할 때의 기하적 영향이 오즈바스-수바의 접촉 불변량에 미치는 영향를 이해하는 것.
• capping-off cobordism의 $HF^+$ 와 원래의 다양체를 연결하는 표준 맵을 Heegaard Floer homology 내에 수립하는 것.
• 이 맵을 사용하여 다수의 경계 성분을 가진 계수 1 open books에서의 tightness와 심플렉틱 fillability에 대한 새로운 고전을 유도하는 것.
• 계수 1, 하나의 경계 성분을 가진 open books와 호환되는 접촉 구조의 지지 계수를 결정하는 것.
• 주기적 단형을 가진 계수 1 open books로 지지되는 모든 tight contact 구조에 대해 $d_3$ 불변량을 계산하는 것.

제안 방법

• capped-off 경계에 해당하는 바인딩 성분에 0-프레임 2-핸들을 붙임으로써 $-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}$ 에서 $-M_{S_{g,r},\phi}$ 로 가는 2-핸들 cobordism $W$ 를 구성한다.
• $W$ 상에서 $\text{Spin}^c$ 구조 $\mathfrak{s}_0$ 를 정의하고, Heegaard Floer homology 내에서 유도된 맵 $F^{+}_{W,\mathfrak{s}_0}: HF^{+}(-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}) \to HF^{+}(-M_{S_{g,r},\phi})$ 를 사용한다.
• 이 맵이 접촉 불변량 $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$ 를 $c^+(S_{g,r},\phi)$ 로 보내며, $U$-equivariant 관계를 수립함을 증명한다.
• 이 맵을 사용하여, 특히 계수 1 open books에서 capping 후 $c^+$ 가 0이 되는 경우의 고전을 도출한다.
• 결과를 적용하여 주기적 단형을 가진 계수 1 open books로 지지되는 모든 tight contact 구조에 대해 $d_3(\xi)$ 를 계산한다.
• 맵과 알려진 pseudo-Anosov 변형에 관한 결과를 활용하여, 모든 $d \in \mathbb{N}$ 에 대해 $c^+(\xi)$ 가 $U^d$ 의 이미지에 속하는 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 capping-off을 통해 경계 성분을 제거할 때, 오즈바스-수바의 접촉 불변량이 Heegaard Floer homology에서 0이 아닌 상태를 유지하는가?
• RQ2 capping-off cobordism에 의해 유도된 $HF^+$ 맵이 tightness 또는 심플렉틱 fillability에 대한 새로운 고전을 제공할 수 있는가?
• RQ3 계수 1, 하나의 경계 성분을 가진 open books와 호환되는 접촉 구조의 지지 계수는 무엇인가?
• RQ4 주기적 단형을 가진 계수 1 open books로 지지되는 tight contact 구조에 대해 $d_3$ 불변량은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 분수 Dehn twist 계수에 어떤 조건이 성립할 경우, 모든 $d \in \mathbb{N}$ 에 대해 $c^+(\xi)$ 가 $U^d$ 의 이미지에 속하는가?

주요 결과

• 다음과 같은 $U$-equivariant 맵 $F^{+}_{W,\mathfrak{s}_0}: HF^{+}(-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}) \to HF^{+}(-M_{S_{g,r},\phi})$ 가 존재하며, 이는 $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$ 를 $c^+(S_{g,r},\phi)$ 로 보내며, capping-off 하기 위한 표준적 관계를 수립한다.
• 만약 $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi) = 0$ 이면, $c^+(S_{g,r},\phi) = 0$ 이며, 이는 접촉 불변량의 0이 되는 고전을 제공한다.
• 계수 1 open books에서 $r$ 개의 경계 성분과 단일 경계 성분당 정확히 두 개의 특이점을 가진 pseudo-Anosov 단형을 가질 경우, 분수 Dehn twist 계수 중 하나라도 1 미만이면, 모든 $d \in \mathbb{N}$ 에 대해 $c^+(\xi)$ 는 $U^d$ 의 이미지에 속한다.
• 주기적 단형을 가진 계수 1 open books로 지지되는 모든 tight contact 구조에 대해 $d_3$ 불변량이 계산되었다.
• 논문은 계수 1, 하나의 경계 성분을 가진 open books와 호환되는 접촉 구조의 지지 계수를 분류한다.
• 특정 분할 및 단형 조건 하에서, $c^+(\xi)$ 가 $U^d$ 의 이미지 외부에 있을 경우 강력한 심플렉틱 fillability를 유도하는 추측을 제시한다.