[논문 리뷰] Comultiplicativity of the Ozsvath-Szabo contact invariant

John A. Baldwin|ArXiv.org|2007. 02. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 헤가르드 플로어 homology의 옵너 브룩 분해로부터 유도되는 3-다양체의 오즈바스-스자보 접촉 불변량에 대해 복수형 구조를 수립한다. 이는 두 요소의 접촉 불변량이 모두 0이 아닐 경우, 개방 책 모노드로미의 복합에 대한 불변량이 0이 아님을 보여주며, 이 결과는 타이트성(또는 채움 가능성)이 모노드로미 복합에 대해 보존됨을 시사한다. 또한 이 결과는 $HF^+$-기반 불변량을 통해 L-공간과 평면 개방 책에 대한 차단 조건으로 확장된다.

ABSTRACT

Suppose that S is a surface with boundary and that g and h are diffeomorphisms of S which restrict to the identity on the boundary. Let Y_g, Y_h, and Y_{hg} be the three-manifolds with open book decompositions given by (S,g), (S,h), and (S,hg), respectively. We show that the Ozsvath-Szabo contact invariant is natural under a comultiplication map on Heegaard Floer homology. It follows that if the contact invariants associated to the open books (S, g) and (S, h) are non-zero then the contact invariant associated to the open book (S, hg) is also non-zero. We extend this comultiplication to a map on HF^+, and as a result we obtain obstructions to the three-manifold Y_{hg} being an L-space. We also use this to find restrictions on contact structures which are compatible with planar open books.

연구 동기 및 목표

• 개방 책 분해로부터 유도되는 3-다양체의 헤가르드 플로어 homology에 대한 복수형 사상 수립.
• 접촉 불변량 $c(S, hg)$가 $c(S, g)$와 $c(S, h)$가 모두 0이 아닐 경우에 0이 아니라는 것을 증명하여, 모노드로미 복합에 의한 타이트성/채움 가능성의 보존을 시사.
• 복수형 사상을 $HF^+$로 확장하고, 이를 통해 $Y_{hg}$가 L-공간이거나 평면 개방 책을 지지하지 않는 데 대한 차단 조건 유도.
• 스핀$^c$ 구조와 $c^+$ 불변량을 사용하여 스틴 채움 가능성과 평면 호환성에 대한 새로운 차단 조건 제공.

제안 방법

• 경계가 $-Y_g - Y_h + Y_{hg}$인 코브라디즘 $X_{g,h}$를 구성하고, 체인 사상 $m: \t{CF}(Y_g) \t{CF}(Y_h) \to \t{CF}(Y_{hg})$를 유도.
• $\t{Hom}_{\t{Z}_2}(-, \t{Z}_2)$ 함자를 적용하여 복수형 사상 $\mu: \t{CF}(-Y_{hg}) \to \t{CF}(-Y_g) \otimes \t{CF}(-Y_h)$를 얻는다.
• 호모로지 상에서 유도된 사상 $\tilde{\mu}$가 $\tilde{\mu}(c(S, hg)) = c(S, g) \otimes c(S, h)$를 만족함을 보여 복수형 성질을 증명.
• $HF^+$로 복수형 사상을 확장하고, 자연 사상 $\widehat{HF} \to HF^+$를 사용해 $c^+$를 정의하며, $U^d \cdot HF^+$ 내에서의 이미지를 분석.
• $HF^+$에서의 복수형 사상을 사용해 차단 조건을 도출: 만약 모든 $d$에 대해 $c^+(S\#_b S, g\#h) \notin U^d \cdot HF^+(-(Y_g \# Y_h))$이면, 모든 $d$에 대해 $c^+(S, hg) \notin U^d \cdot HF^+(-Y_{hg})$임을 의미하며, 이는 $Y_{hg}$가 L-공간이 아니라는 것을 시사.
• 오즈바스-스자보와 스티프시츠의 $c_1$-비틀림성과 스틴 채움 가능성에 관한 결과를 활용하여, $Y_{hg}$가 L-공간이거나 평면 개방 책을 지지하지 않는 조건 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모노드로미 복합에 의한 오즈바스-스자보 접촉 불변량이 0이 되는가, 그리고 이는 헤가르드 플로어 homology의 복수형 구조로 포착될 수 있는가?
• RQ2 $\widehat{HF}$에서의 복수형 구조가 $HF^+$로 확장될 수 있는가, 그리고 이는 어떤 새로운 차단 조건을 유도하는가?
• RQ3 $c^+$와 $c_1$에 대한 어떤 조건에서 복합 $hg$가 $Y_{hg}$가 L-공간이거나 평면 개방 책을 지지하지 못하게 하는가?
• RQ4 $c(S, g)$와 $c(S, h)$가 0이 아닐 경우 $c(S, hg)$도 0이 아닐 수 있는가, 그리고 이는 $c^+$로까지 확장되는가?
• RQ5 복수형 사상을 사용하여 접촉 구조의 비채움 가능성 또는 비평면성 여부를 감지할 수 있는 방법이 있는가?

주요 결과

• 접촉 불변량 $c(S, hg)$는 $c(S, g)$와 $c(S, h)$가 모두 0이 아닐 경우에 0이 아니며, 이는 타이트성 또는 채움 가능성의 모노드로미 복합에 의한 보존을 증명한다.
• 복수형 사상 $\tilde{\mu}: \widehat{HF}(-Y_{hg}) \to \widehat{HF}(-Y_g) \otimes \widehat{HF}(-Y_h)$는 $\tilde{\mu}(c(S, hg)) = c(S, g) \otimes c(S, h)$를 만족하며, 자연성과 복수형 성질을 증명한다.
• 복수형 사상은 $HF^+$로 확장되며, 만약 모든 $d$에 대해 $c^+(S\#_b S, g\#h) \notin U^d \cdot HF^+(-(Y_g \# Y_h))$이면, 모든 $d$에 대해 $c^+(S, hg) \notin U^d \cdot HF^+(-Y_{hg})$임을 의미하며, 이는 $Y_{hg}$가 L-공간이 아니라는 것을 시사한다.
• 만약 $c_1(\mathfrak{s}(S,g))$가 비틀림이 아니며 $c^+(S\#_b S, g\#h) \neq 0$이면, $Y_{hg}$는 L-공간이 아니며 $Y_{hg}$의 접촉 구조는 평면 개방 책에 의해 지지되지 않는다.
• 만약 $(S,g)$와 $(S,h)$가 스틴 채움 가능하며 $c_1(\mathfrak{s}(S,g)) = c_1(\mathfrak{s}(S,h)) = 0$이면, $Y_{hg}$는 L-공간이 아니며 $Y_{hg}$의 접촉 구조는 평면 개방 책에 의해 지지되지 않는다.
• 만약 $c^+(S,g) \neq 0$이고 $(S,h)$가 스틴 채움 가능한 접촉 구조를 지지하면, $c^+(S\#_b S, g\#h) \neq 0$임을 증명하여 $c^+$-기반 차단 조건의 활용이 가능하다는 사실을 확립한다.