[논문 리뷰] Cardy-Verlinde Formula and asymptotically flat rotating Charged black holes

Jiliang Jing|ArXiv.org|2002. 02. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아인슈타인-맥스웰 이론과 저에너지 스트링 효과 이론에서의 점점 편평한 회전하는 전하를 가진 블랙홀, 즉 킬러-뉴먼, EMDA, 칼루자-클라인, 센 블랙홀에 대해 카디-버린트 공식을 일반화한다. 킬러-뉴먼의 경우, 카디-버린트 공식은 AdS/dS의 대응체와 유사하게 카시미르 에너지를 정의하지만, 다른 형태를 취한다. EMDA, 칼루자-클라인, 센 블랙홀의 경우 공식은 계수를 수정한 킬러 블랙홀 형태로 축소되며, 칼루자-클라인과 센의 경우 블랙홀에 대해 베키티스의 경계보다 더 날카러진 엔트로피 경계를 가진다.

ABSTRACT

The Cardy-Verlinde formula is generalized to the asymptotically flat rotating charged black holes in the Einstein-Maxwell theory and low-energy effective field theory describing string by using some typical spacetimes, such as the Kerr-Newman, Einstein-Maxwell-dilaton-axion, Kaluza-Klein, and Sen black holes. For the Kerr-Newman black hole, the definition of the Casimir energy takes the same form as that of the Kerr-Newman-AdS$_4$ and Kerr-Newman-dS$_4$ black holes, while the Cardy-Verlinde formula possesses different from since the Casimir energy does not appear in the extensive energy. The Einstein-Maxwell-dilaton-axion, Kaluza-Klein, and Sen black holes have special property: The definition of the Casimir energy for these black holes is similar to that of the Kerr-Newman black hole, but the Cardy-Verlinde formula takes the same form as that of the Kerr black hole. Furthermore, we also study the entropy bounds for the systems in which the matters surrounds these black holes. We find that the bound for the case of the Kerr-Newman black hole is related to its charge, and the bound for the cases of the EMDA, Kaluza-Klein, and Sen black holes can be expressed as a unified form. A surprising result is that the entropy bounds for the Kaluza-Klein and Sen black holes are tighter than the Bekenstein one.

연구 동기 및 목표

• 비수렴하는 AdS/dS 시공간에서의 성공에도 불구하고, 아직 탐색되지 않은 점점 편평한 회전 전하 블랙홀에 대해 카디-버린트 공식을 확장하는 것.
• 이 블랙홀의 경계면에 존재하는 등각장론(CFT)의 엔트로피가 그들의 베키티스-호킹 엔트로피와 일치하는지 조사하는 것.
• 특히 베키티스 경계와 비교하여, 이러한 블랙홀 주위에 둘러싸인 물질에 대한 엔트로피 경계를 유도하고 분석하는 것.
• 전하와 회전을 가진 비-AdS 블랙홀에 대해 카디-버린트 공식이 그 형태를 유지하는지 아니면 수정이 필요한지 판단하는 것.
• 다양한 블랙홀 유형에서 카시미르 에너지와 광범위 에너지의 역할을 일반화된 공식에서 탐색하는 것.

제안 방법

• 킬러-뉴먼 블랙홀에 대해 $ S = \frac{2\pi r_{+}}{n} \sqrt{E_c \cdot 2(E - E_Q)} $ 형태의 카디-버린트 공식을 사용하며, $ E_Q $ 는 전기 잠재 에너지를 의미한다.
• EMDA, 칼루자-클라인, 센 블랙홀에 대해 통합된 카디-버린트 형태인 $ S = \frac{2\pi r_{+}}{\sqrt{a_1b_1}} \sqrt{E_c \cdot 2E} $ 를 적용하며, $ \sqrt{a_1b_1} $ 는 기하학적 및 열역학적 매개변수에서 유도된다.
• 지름과 질량 $ M $, 각운동량 $ a $, 전하 $ Q $ 를 사용하여 열역학적 및 기하학적 관계를 통해 카시미르 에너지 $ E_c $ 를 계산한다.
• 공변 위상 방법과 칼립의 경계 조건을 사용하여 사건의 지평선에서 바이레로 알제브라와 중심 전하를 구성하며, CFT 엔트로피와 베키티스-호킹 엔트로피를 연결한다.
• 엔트로피 경계를 유도하기 위해 $ S_B = 2\pi R E \frac{n}{\sqrt{a_1b_1}} $ 를 정의하고, $ \frac{n}{\sqrt{a_1b_1}} $ 를 1과 비교하여, 베키티스 경계 대비 날카러운 정도를 평가한다.
• 특정 블랙홀 해를 분석: 킬러-뉴먼, EMDA, 칼루자-클라인, 센 블랙홀로, 각각의 알려진 계량 및 열역학적 성질을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점점 편평한 회전 전하 블랙홀, 예를 들어 킬러-뉴먼과 EMDA에 대해 카디-버린트 공식이 성립하는가?
• RQ2 편평한 시공간에서 카시미르 에너지와 광범위 에너지의 정의는 AdS/dS 블랙홀과 어떻게 다를까?
• RQ3 이 블랙홀 주위에 있는 물질에 대한 엔트로피 경계가 베키티스 경계보다 더 날카러울 수 있으며, 어떤 조건에서 그런가?
• RQ4 EMDA, 칼루자-클라인, 센 블랙홀은 전하와 구조가 다르지만 왜 킬러 블랙홀과 동일한 카디-버린트 형태를 보이는가?
• RQ5 바이레로 대칭을 통한 CFT 엔트로피와 베키티스-호킹 엔트로피의 일치가 편평한 시공간 블랙홀에서도 유지되는가?

주요 결과

• 킬러-뉴먼 블랙홀의 경우, 카시미르 에너지 정의는 킬러-뉴먼-AdS/dS의 경우와 유사하지만, 광범위 에너지에서 전기 잠재 에너지가 제외되어 수정된 카디-버린트 공식 $ S = \frac{2\pi r_{+}}{n} \sqrt{E_c \cdot 2(E - E_Q)} $ 를 유도한다.
• EMDA, 칼루자-클라인, 센 블랙홀의 경우, 카시미르 에너지 정의는 킬러-뉴먼과 유사하지만, 카디-버린트 공식은 $ S = \frac{2\pi r_{+}}{\sqrt{a_1b_1}} \sqrt{E_c \cdot 2E} $ 형태로 축소되며, 이는 킬러 블랙홀 공식과 동일하다.
• 계수 $ \sqrt{a_1b_1} $ 는 EMDA에 대해 $ n $, 칼루자-클라인에 대해 $ \frac{n(1 - v^2/2)}{\sqrt{1 - v^2}} $, 센 블랙홀에 대해 $ \frac{n(1 + \cosh\alpha\cosh\beta)}{\cosh\alpha + \cosh\beta} $ 이다.
• 모든 네 종류의 블랙홀에 대해 지평선 상의 CFT 엔트로피는 정확히 베키티스-호킹 엔트로피와 일치하며, CFT 방법을 통한 일관성을 확인한다.
• 칼루자-클라인과 센 블랙홀의 엔트로피 경계는 $ \frac{n}{\sqrt{a_1b_1}} \leq 1 $ 이므로, 베키티스의 경계보다 더 날카럽다. 등호는 특별한 극한에서만 성립한다.
• 킬러-뉴먼 블랙홀의 경우, 엔트로피 경계 $ S \leq 2\pi R(E - \frac{Q^2}{2r_+}) $ 는 전하에 의해 날카러지며, $ Q = 0 $ 일 때는 베키티스의 경계로 축소된다.