[논문 리뷰] Stationary black holes: Large $D$ analysis

Ryotaku Suzuki, Kentaro Tanabe|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 34인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $1/D$ 전개를 사용하여 대규모 $D$ 정적 블랙홀에 대한 효과적인 막 이론을 개발하며, 주로 1차 근사에서 계량은 로렌츠-보정된 슈바르츠실트 블랙홀임을 보여준다. 막의 평균 곡률에 대한 보편적인 효과적 방정식을 유도하여, 마이어스-퍼리 블랙홀, 뾰루퉁한 블랙홀, 블랙 링과 같은 다양한 해를 통합하고, 이를 통해 대규모 $D$ 근사에서 단일로 비틀린 마이어스-퍼리 블랙홀의 준정상 모드 주파수를 해석적으로 계산한다.

ABSTRACT

We consider the effective theory of the large D stationary black hole. By solving Einstein equation with a cosmological constant using the 1/D expansion in near zone of a black hole we obtain the effective equation for the stationary black hole. The effective equation describes the Myers-Perry black hole, bumpy black holes and, possibly, the black ring solution as its solutions. In this effective theory the black hole is represented as the embedded membrane in the background, i.e., Minkowski or Anti-de Sitter spacetime and its mean curvature is given by the redshifted surface gravity by the background geometry and the local Lorentz boost. The local Lorentz boost property of the effective equation is observed also in the metric. In fact we show that the leading order metric of the Einstein equation in the 1/D expansion is generically regarded as the Lorentz boosted Schwarzschild black hole. We apply this Lorentz boost property of the stationary black hole solution to solve the perturbation equation. As a result we obtain the analytic formula for the quasinormal mode of the singly rotating Myers-Perry black hole in the 1/D expansion.

연구 동기 및 목표

• 비틀림이 없는 또는 아도-데시트 빈티지 시공간에서 대규모 $D$ 정적 블랙홀에 대한 효과적 장 이론을 개발하기 위해.
• 마이어스-퍼리, 뾰루퉁한 블랙홀, 블랙 링 등 다양한 블랙홀 해를 하나의 효과적 프레임워크 안에서 통합적으로 기술하기 위해.
• 대규모 $D$ 근사에서 단일로 비틀린 마이어스-퍼리 블랙홀의 준정상 모드 주파수에 대한 해석적 공식을 $1/D$ 전개를 통해 유도하기 위해.
• 1차 근사 계량이 항상 로렌츠-보정된 슈바르츠실트 해임을 입증하여, 효과적 이론 내에서 보편적인 보정 성질을 드러내기 위해.

제안 방법

• 우주상수를 포함한 아인슈타인 방정식을 $1/D$ 전개를 사용하여 근사 표면에서 풀기.
• 배경 시공간에서 막의 매장된 표면 $\Sigma_B$ 에 대한 효과적 방정식 유도하기. 여기서 평균 곡률 $K$ 는 표면 중력과 $\gamma^{-1}K|_{\Sigma_B} = 2\kappa$ 관계를 가진다.
• 배경의 중력적 레드시프트와 시공간의 회전으로 인한 로렌츠 보정을 결합한 적색이동 인자 $\gamma^{-1}$ 도입하기.
• 1차 근사 계량의 국소 로렌츠 보정 성질을 활용하여 편미분 분석을 단순화하기.
• 효과적 막 방정식을 적용하여 스칼라 및 벡터 타입의 편미분을 분석함으로써 준정상 모드를 구하기.
• QNM 조건 $\delta^S_\omega = \ell - j$ 와 이에 관련된 $\omega$ 에 대한 다항식 방정식을 풀어, 준정상 모드 주파수에 대한 명시적 해석적 표현 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $1/D$ 전개를 사용하여 대규모 $D$ 정적 블랙홀에 대한 통합된 효과적 이론을 구축할 수 있는가?
• RQ2 효과적 기술에서 막 $\Sigma_B$ 의 기하학적 및 역학적 역할은 무엇인가?
• RQ3 1차 근사 계량의 로렌츠 보정 성질이 효과적 막 방정식과 편미분 이론에 어떻게 나타나는가?
• RQ4 효과적 막 접근법을 통해 대규모 $D$ 근사에서 단일로 비틀린 마이어스-퍼리 블랙홀의 준정상 모드 주파수를 해석적으로 도출할 수 있는가?
• RQ5 스칼라 및 벡터 타입의 모드에 대해 $1/D$ 전개에서의 편미분 방정식의 구조와 그 해는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 막 $\Sigma_B$ 의 매장 조건을 지배하는 효과적 방정식 $\gamma^{-1}K|_{\Sigma_B} = 2\kappa$ 는 $\gamma^{-1}$ 가 중력적 레드시프트와 로렌츠 레드시프트를 모두 포함함을 의미한다.
• 대규모 $D$ 근사에서 1차 근사 계량은 항상 로렌츠-보정된 슈바르츠실트 블랙홀이며, 이는 대규모 $D$ 근사에서 깊은 대칭성을 드러낸다.
• 효과적 이론은 마이어스-퍼리 블랙홀, 뾰루퉁한 블랙홀, 블랙 링 등 다양한 해를 모두 동일한 막 방정식의 해로 성공적으로 기술한다.
• 단일로 비틀린 마이어스-퍼리 블랙홀의 준정상 모드 주파수에 대한 해석적 공식이 $1/D$ 전개에서 도출되었으며, 스칼라 및 벡터 타입의 편미분에 모두 적용 가능하다.
• 스칼라 타입의 편미분에 대한 QNM 조건은 $\delta^S_\omega = \ell - j$ 로 단순화되며, 전체 주파수 스펙트럼은 $a$, $j$, $m$, $\ell$ 에 대한 함수로 주어진 계수를 가진 5차 다항식에 암묵적으로 포함된다.
• 주파수 다항식의 명시적 형태 $F(\omega)/G(\omega) = 0$ 이 유도되었으며, 계수 $f_5$ 에서 $f_0$ 까지가 닫힌 형태로 주어져 대규모 $D$ 근사에서 QNM를 체계적으로 계산할 수 있게 한다.