[논문 리뷰] Categories in control: applied PROPs

Jason Erbele|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 23.

Formal Methods in Verification참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 신호 흐름 다이어그램을 통해 선형 정수 시스템을 모델링하기 위해 PROPs(곱 범주)를 사용하는 범주론적 프레임워크를 제안한다. FinRelk—R(s) 위의 유한차원 벡터 공간과 선형 관계, 그리고 직합을 갖는 범주—의 표현을 제시하며, 이는 덧셈, 스칼라 곱셈, 미분, 피드백 등의 기본 연산으로 생성되며 대수적 관계를 만족하는 대칭 모노이드 범주이다. 주요 기여는 상태공간 역학을 포괄하고 시각적 추론을 가능하게 하는 그래픽스 규칙을 통해 가시성과 관측 가능성의 형식화된 그래픽스 계산법을 제공하는 새로운 PROPs인 Statefulk이다.

ABSTRACT

Control theory uses `signal-flow diagrams' to describe processes where real-valued functions of time are added, multiplied by scalars, differentiated and integrated, duplicated and deleted. These diagrams can be seen as string diagrams for the PROP FinRel_k, the strict version of the category of finite-dimensional vector spaces over the field of rational functions k = R(s) and linear relations, where the variable s acts as differentiation and the monoidal structure is direct sum rather than the usual tensor product of vector spaces. Control processes are also described by controllability and observability---whether the input can drive the process to any state, and whether any state can be determined from later outputs. For any field k we give a presentation of FinRel_k in terms of generators of the free PROP of signal-flow diagrams together with the equations that give FinRel_k its structure. The `cap' and `cup' generators, missing when the morphisms are linear maps, make it possible to model feedback. The relations say, among other things, that the 1-dimensional vector space k has two special commutative dagger-Frobenius structures, such that the multiplication and unit of either one and the comultiplication and counit of the other fit together to form a bimonoid. This sort of structure, but with tensor product replacing direct sum, is familiar from the `ZX-calculus' obeyed by a finite-dimensional Hilbert space with two mutually unbiased bases. In order to address controllability and observability, we construct the PROP Stateful_k and relate it back to the PROP of signal-flow diagrams. This provides a way to graphically express controllability and observability for linear time-invariant processes.

연구 동기 및 목표

• 제어 시스템을 범주론적으로 형식화하여, 선형 정수 시스템에 대한 통합된 대수적이고 그래픽스적인 언어를 제공한다.
• R(s) 위의 유한차원 벡터 공간과 선형 관계, 직합을 갖는 범주인 FinRelk를, 신호 흐름 다이어그램 연산으로 생성된 PROPs로 제시한다.
• 상태공간 표현을 모델링하고 가시성과 관측 가능성을 범주론적 맥락에서 공식화하기 위해 Statefulk라는 PROPs를 정의하고 구성한다.
• 그래픽스 신호 흐름 다이어그램과 전통적 제어 이론 개념 사이의 다리를 놓으며, 시스템 행동에 대한 시각적이고 대수적 추론을 가능하게 한다.
• 상태 전이 행렬에 선형 관계가 포함된 더 일반적인 시스템으로의 확장을 위한 기초를 마련한다.

제안 방법

• 직합에 의해 주어지는 모노이드 구조를 갖는, 신호 흐름 과정을 나타내는 사상으로 제어 시스템을 모델링하기 위해 PROPs를 사용한다.
• R(s) 위의 선형 관계의 대수적 구조를 포괄하는 생성자(덧셈, 스칼라 곱셈, 미분, 복제, 삭제)와 관계(예: 프로푸스 및 바이모노이드 법칙 포함)를 통해 FinRelk의 표현을 제공한다.
• 피드백을 모델링하기 위해 '캡'과 '커프' 생성자를 도입하여, 폐쇄형 루프 시스템의 표현을 가능하게 한다.
• 상태 변수를 신호 흐름 다이어그램 내부에 내재화하는 '박스' 구축을 통해 Statefulk를 구성한다.
• Statefulk 내의 사상으로서의 가시성과 관측 가능성을 정의하며, 상태의 도달 가능성과 구별 가능성과 같은 그래픽스 기준을 사용한다.
• 신호 흐름 다이어그램 분석과 상태공간 실현 간의 관계를 확립하기 위해 'StFlowk-정규형'을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 이론의 신호 흐름 다이어그램은 대칭 모노이드 범주 내의 사상으로 어떻게 공식화될 수 있는가?
• RQ2 R(s) 위의 유한차원 선형 관계의 PROPs인 FinRelk의 구조를 지배하는 대수적 관계는 무엇인가?
• RQ3 피드백, 복제, 삭제는 PROPs의 생성자와 관계를 통해 어떻게 범주론적으로 모델링될 수 있는가?
• RQ4 가시성과 관측 가능성은 PROPs 내에서 그래픽스 추론을 통해 어떻게 표현되고 검증될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 상태 전이 행렬에 선형 관계가 포함된 시스템(단지 선형 사상이 아닌)을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• FinRelk는 기본 제어 연산을 위한 생성자와 R(s) 위의 선형 관계의 대수적 구조를 포괄하는 관계를 갖는다. 이는 두 개의 교환 가능한 †-프로푸스 구조가 바이모노이드를 형성하며, ZX-계산법에서 관찰된 구조를 일반화한다.
• '캡'과 '커프' 생성자의 포함은 피드백을 모델링할 수 있게 하여, 폐쇄형 루프 시스템을 PROPs 프레임워크 내에서 표현할 수 있도록 한다.
• Statefulk의 구성은 상태공간 시스템의 범주론적 모델을 제공하며, 가시성과 관측 가능성을 신호 흐름 다이어그램의 그래픽스적 성질로 표현할 수 있도록 한다.
• 가시성은 입력을 통해 임의의 상태로 도달할 수 있는 능력으로 특징지어지며, 관측 가능성은 출력으로부터 상태를 추론할 수 있는 능력으로 정의된다.
• 논문은 상태공간 관계(단지 사상이 아닌)를 다룰 수 있도록 프레임워크를 일반화하는 길을 제시하며, 새로운 PROPs인 CtrlFlowk를 사용하여 더 넓은 범주로의 시스템 모델링 가능성을 시사한다.
• 신호 흐름 다이어그램의 StFlowk-정규형이 선형 관계 A(f), B(f), C(f), D(f)를 체계적으로 추출하는 데 사용될 수 있다는 추측을 제기하며, 경험적 기법보다 더 체계적인 방법을 제공할 것으로 기대한다.