[논문 리뷰] Categories, norms and weights

Marco Grandis|ArXiv.org|2006. 03. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $[0,\infty]$ 범주에 덧셈과 곱셈을 사용하여 부분가환(비용 기반) 및 부분곱셈(Lipschitz) 노름을 모델링하는 이중 모노이드 구조를 도입한다. 노름이 부여된 집합에 대해 덧셈 가중치를 위한 ${\bf w}^+$와 곱셈 가중치를 위한 ${\bf w}^\bullet$라는 두 가지 별개의 대칭 모노이드 닫힘 구조를 수립하며, 이는 가중치가 부여된 대수적 위상수학의 기초를 제공하고 물리적 측정값을 가중치의 대수로 일반화한다.

ABSTRACT

The well-known Lawvere category R of extended real positive numbers comes with a monoidal closed structure where the tensor product is the sum. But R has another such structure, given by multiplication, which is *-autonomous. Normed sets, with a norm in R, inherit thus two symmetric monoidal closed structures, and categories enriched on one of them have a 'subadditive' or 'submultiplicative' norm, respectively. Typically, the first case occurs when the norm expresses a cost, the second with Lipschitz norms. This paper is a preparation for a sequel, devoted to 'weighted algebraic topology', an enrichment of directed algebraic topology. The structure of R, and its extension to the complex projective line, might be a first step in abstracting a notion of algebra of weights, linked with physical measures.

연구 동기 및 목표

• 확장된 실수 구간 $[0,\infty]$에 대해 두 가지 대칭 모노이드 닫힘 구조를 형식화한다: 하나는 덧셈(${\bf w}^+$)을, 다른 하나는 곱셈(${\bf w}^\bullet$)을 사용하며, 각각 범주에 별개의 노름을 유도한다.
• 부가적 노름(비용, 지속 시간, 에너지 등)과 부분곱셈적 노름(Lipschitz 상수 등) 간의 차이를 부가적 범주론에서 명확히 한다.
• 모르피즘에 덧셈 또는 곱셈 부등식을 만족하는 가중치를 지닌 가중치가 부여된 범주에 대해 일관된 용어 체계를 수립한다.
• 확장된 실수 값의 가중치가 부여된 공간에 대해 호모토피 및 호몰로지 이론을 개발하는 후속 연구를 위한 기초를 마련한다.
• 확장된 실수 구간 $[0,\infty]$의 대수적 구조와 그 $\mathbb{C}P^1$로의 확장이 물리적 측정값(예: RLC 회로의 임피던스)과 연결된 '가중치의 대수'로 간주될 수 있는지 탐색한다.

제안 방법

• 덧셈을 텐서 곱으로, 내부 함의를 절단된 차이로 정의하는 대칭 모노이드 닫힘 구조 ${\bf w}^+$를 $[0,\infty]$에 정의한다: ${\rm hom}^+(\mu,\nu) = 0 \vee (\nu - \mu)$.
• 곱셈을 텐서 곱으로, 내부 함의를 나눗셈으로 정의하는 대칭 모노이드 닫힘 구조 ${\bf w}^\bullet$를 $[0,\infty]$에 정의한다: ${\rm hom}^\bullet(\mu,\nu) = \nu / \mu$, 여기서 $0/0 = \infty/\infty = 0$.
• 덧셈 가중치를 지닌 노름이 부여된 집합의 범주 ${\rm w}^+{\bf Set}$를 구성한다. 이는 $|gf| \leq |f| + |g|$를 만족하며, 곱셈 가중치를 지닌 ${\rm w}^\bullet{\bf Set}$는 $|gf| \leq |f| \cdot |g|$를 만족한다.
• ${\rm w}^+{\bf Ab}$와 ${\rm w}^\bullet{\bf Ab}$를 기반으로 한 가중치가 부여된 아벨 군과 가중치가 부여된 링을 도입하며, 이는 각각의 호모지에 대해 호환 가능한 노름을 지닌다.
• ${\bf w}^\bullet$는 $\mu \mapsto 1/\mu$를 인벌루션으로 하는 $\ast$-자기대칭이며, Lipschitz 유형의 사상에 적합한 곱셈적 노름 구조를 지닌다.
• Lawvere의 작업에서의 리프레젠테이션 기반 리프레젠테이션 접근과 직접적 부가적 범주론적 부가적 접근을 비교하며, 후자가 가중치가 부여된 호몰로지 및 호모토피 이론 개발에 더 적합하다고 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 실수 구간 $[0,\infty]$에 대해 덧셈 기반과 곱셈 기반의 두 가지 별개의 대칭 모노이드 닫힘 구조를 어떻게 부여할 수 있으며, 이는 범주에 대해 이중 노름 구조를 가능하게 하는가?
• RQ2 ${\bf w}^\bullet$의 구조가 $[0,\infty]$에서 가지는 범주론적 및 대수적 의미는 무엇이며, 특히 $\ast$-자기대칭성과 고전적 선형논리와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 모르피즘에 대한 부분가환 노름과 부분곱셈 노름이 비용과 리프레젠테이션 상수 등 서로 다른 물리적 또는 계산적 의미를 가지며, 이는 어떻게 부가적 범주론에서 형식화될 수 있는가?
• RQ4 $[0,\infty]$가 $\mu \mapsto 1/\mu$를 인벌루션으로 하는 가환 세미링으로서의 성질이 $\mathbb{C}P^1$ 등 다른 도메인으로 일반화될 수 있는가? 이는 추상적인 가중치 대수의 성질에 대해 무엇을 시사하는가?
• RQ5 확장된 실수 구간 $[0,\infty]$에 존재하는 이중 모노이드 구조가 가중치가 부여된 대수적 위상수학 이론의 기초가 되는 방식은 무엇이며, 특히 가중치가 부여된 공간에서의 호모토피 및 호몰로지 이론의 맥락에서 어떻게 기능하는가?

주요 결과

• 범주 $[0,\infty]$는 두 가지 별개의 대칭 모노이드 닫힘 구조를 지닌다: 덧셈을 텐서 곱으로 사용하는 ${\bf w}^+$와 곱셈을 텐서 곱으로 사용하는 ${\bf w}^\bullet$.
• ${\bf w}^\bullet$는 $\mu \mapsto 1/\mu$를 인벌루션으로 하며 내부 함의가 $\nu / \mu$인 $\ast$-자기대칭이며, $0/0 = \infty/\infty = 0$이다.
• ${\rm w}^+{\bf Set}$에 부가된 범주들은 $|gf| \leq |f| + |g|$를 만족하는 부분가환 노름을 지닌다. 이는 합성에서 비용이나 에너지를 모델링한다.
• ${\rm w}^\bullet{\bf Set}$에 부가된 범주들은 $|gf| \leq |f| \cdot |g|$를 만족하는 부분곱셈 노름을 지닌다. 이는 리프레젠테이션 상수나 척도 인자 등을 모델링한다.
• 한 생성자를 가진 자유 가중치 아벨 군은 $\mathrm{w}{\bf Z}$이며, $k \geq 0$일 때 $|k| = k$, 그 외에는 $|k| = \infty$이다. 이는 가중치의 방향성의 특성을 보여준다.
• 가중치 집합의 범주 ${\rm w}{\bf Set}$는 덧셈 가중치 $|f|_0 = \sup_x (|f(x)| - |x|)$와 곱셈 가중치 $|f|_1 = \sup_x (|f(x)| / |x|)$를 모두 지닌다. 후자는 $|f|_1 \leq 1$ 조건을 통해 수축을 식별한다.