[논문 리뷰] Categories with norms

Wiesław Kubiś|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 29.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 '노름이 부여된 범주'—화살표에 실수 값이 아닌 함수를 부여한 범주로, 다음 세 가지 공리(정규화 조건)를 만족한다: 항등사상의 노름은 0이며, 합성에 대해 삼각 부등식이 성립하고, 이중 부등식은 동치 사상에 대해 대칭성을 보장한다. 이는 거리 공간과 리프시츠 사상의 일반화이며, 코시 수열과 완비화를 수립하고, 바나흐 고정점 정리의 범주론적 판본을 증명하여 유한한 노름을 가진 화살표가 존재할 경우 압축 함자에 의한 고정점의 존재를 보여준다.

ABSTRACT

We study a metric-like structure on categories, showing that the concept of the limit of a sequence in a metric space and the concept of the colimit of a sequence in a category have a common generalization. The main concept is a norm on a category, generalizing pseudo-metrics and group valuations. In this new context, we discuss topics like Cauchy completion and the Banach Contraction Principle.

연구 동기 및 목표

• 범주 내 화살표에 노름을 정의하여 거리 공간과 편의 거리 공간을 일반화하는 것.
• 노름이 부여된 범주에서의 코시 수열을 통해 거리 수렴과 범주론적 쌍대극한의 개념을 통합하는 것.
• 바나흐 고정점 정리를 노름이 부여된 범주로 확장하여, 압축 함자에 의한 고정점의 존재를 증명하는 것.
• 메트릭으로 강화된 범주에서 연속 프라셰한 극한과 보편 동형 대상을 연구하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 범주 K에 대해 화살표에 실수값을 부여하는 함수 μ: K → [0, ∞]를 정의하며, μ(id_x) = 0, μ(f∘g) ≤ μ(f) + μ(g), 그리고 가역 가능한 화살표에 대해 μ(g) ≤ μ(f∘g) + μ(f)를 만족하는 노름 μ를 정의한다.
• 노름이 부여된 범주가 거리 공간을 일반화함을 보이며, 범주가 모든 쌍이 관련된 부분순서 집합일 경우 대칭적 편의 거리 공간이 유도됨을 보인다.
• 모든 코시 수열이 수렴하는, 더 큰 노름이 부여된 범주로 구성된 코시 완비화를 정의한다. 이 수렴은 쌍대극한 조건을 만족하는 수렴 조건을 포함한다.
• 코시 완비 노름이 부여된 범주에서의 순차적 연속 압축 함자 F가, μ(f) < ∞ 를 만족하는 화살이 f: a → F(a) 가 존재할 경우 고정점을 가짐을 증명한다.
• 기하급수 급수 ∑r^n (r < 1)의 수렴을 이용하여 반복 함자 F^n(f)의 수열이 코시 수열임을 보이고, 따라서 완비화에서 수렴함을 보인다.
• 노름 조건 (N3)이 노름의 동치 사상에 대한 불변성을 보장함을 보이며, 예를 들어 동치 사상 h에 대해 μ(h) = μ(h⁻¹)임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편의 거리 공간의 일반화로서 범주론에 대해 거리 수렴과 범주론적 쌍대극한의 개념을 통합할 수 있는가?
• RQ2 노름이 부여된 범주의 맥락에서 바나흐 고정점 정리를 어떻게 재구성하고 일반화할 수 있는가?
• RQ3 노름이 부여된 범주에서 함자에 대한 고정점의 존재 조건은 무엇이며, 유일성은 언제 보장되는가?
• RQ4 이산적 노름이 범주에 부여될 경우, 거리 공간과는 달리 비자명한 구조를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 리프시츠 사상으로 구성된 거리 공간의 범주에서, 노름을 bi-Lipschitz 상수의 로그로 정의할 때 기하학적 왜곡을 어떻게 포괄하는가?

주요 결과

• 노름 공리 (N1)–(N3)는 편의 거리 공간과 군의 값 함수를 일반화하며, 합성과 동치 사상에 대해 안정적이다.
• 모든 거리 공간은 화살표의 노름이 도메인과 카오도메인 사이의 거리가 되는 노름이 부여된 범주로 임bedding될 수 있다.
• 리프시츠 사상으로 구성된 거리 공간의 범주에는 자연스러운 노름이 존재하며, 이는 μ(f) = log(max(Lip(f), Lip(f⁻¹))) 로 정의된다. f 가 bi-Lipschitz 가 아니면 μ(f) = ∞ 이다.
• 노름이 부여된 범주에서의 코시 수열은 자연수의 부분순서 집합 ω로의 함자이며, 쌍대극한 코코어의 화살표 노름 수열이 수렴하는 성질을 가진다.
• 노름이 부여된 범주의 코시 완비화는 기저 구조의 완비화의 전부 하위범주로서 구성되며, 모든 코시 수열이 수렴함을 보장한다.
• 코시 완비 노름이 부여된 범주에서 순차적 연속 압축 함자 F는, μ(f) < ∞ 를 만족하는 화살이 f: a → F(a) 가 존재할 경우 고정점을 가짐을 보였지만, 일반적으로 유일성은 보장되지 않는다.