[논문 리뷰] Caterpillars in Erd\H{o}s-Hajnal

Anita Liebenau, Marcin Pilipczuk외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 01.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 고치자리 분할이 희박한 강력한 에르되시-하자논 성질을 만족함을 증명한다: 임의의 $T$-자유 그래프에서, 어떤 정점의 차수가 선형일 것이거나, 두 개의 큰 반완전 집합이 존재할 것이다. 이는 고치자리 분할과 그 여집합을 모두 금지하는 그래프가 다항식 크기의 클리크 또는 안정 집합을 포함함을 의미하며, 이는 이전의 경로와 후크에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $T$ be a tree such that all its vertices of degree more than two lie on one path, that is, $T$ is a caterpillar subdivision. We prove that there exists $\\epsilon>0$ such that for every graph $G$ with $|V(G)|\\ge 2$ not containing $T$ as an induced subgraph, either some vertex has at least $\\epsilon|V(G)|$ neighbours, or there are two disjoint sets of vertices $A,B$, both of cardinality at least $\\epsilon|V(G)|$, where there is no edge joining $A$ and $B$. A consequence is: for every caterpillar subdivision $T$, there exists $c>0$ such that for every graph $G$ containing neither of $T$ and its complement as an induced subgraph, $G$ has a clique or stable set with at least $|V(G)|^c$ vertices. This extends a theorem of Bousquet, Lagoutte and Thomass\\'e [JCTB 2015], who proved the same when $T$ is a path, and a recent theorem of Choromanski, Falik, Liebenau, Patel and Pilipczuk [Electron. J. Combin. 2018], who proved it when $T$ is a "hook".

연구 동기 및 목표

• 모든 고치자리 분할에 대해 희박한 강력한 에르되시-하자논 성질을 확립하기 위해.
• 이전의 경로와 후크에 대한 결과를 더 넓은 트리의 클래스로 확장하기 위해.
• 고치자리 분할과 그 여집합을 모두 배제하는 그래프가 다항식 크기의 클리크 또는 안정 집합을 포함함을 증명하기 위해.
• 질량 재현과 $\tau$-버터플라워를 사용한 구조적 프레임워크를 개발하여 $T$-자유 그래프를 분석하기 위해.
• 고치자리 분할에 대해 대칭적인 강력한 EH-성질의 특성에 관한 추측을 해결하기 위해.

제안 방법

• 중심 뼈대가 $\tau+1$개 정점이고 마지막 뼈대 정점에 $\tau$개의 잎이 붙은 나무를 $\tau$-버터플라워로 정의한다.
• 그래프 $G$에서 나무 $N$의 $\kappa$-재현을 정의하며, 이는 이웃을 덮고 연결된 부분그래프를 유도하는 정점 집합이다.
• 질량과 컴포넌트 수를 추적하면서, 반복적으로 향상된 재현을 위해 $\tau$-노르웨이 $N_0, \dots, N_q$의 시퀀스를 사용한다.
• 집합 크기와 충분한 질량 분포를 보장하기 위해 $\kappa_i = 2^{-i}p^{-1} - (\tau+2)\epsilon$의 재귀적 질량 할당 계획을 적용한다.
• 만약 $T$-자유 그래프가 $\tau$-버터플라워의 $\kappa_p$-재현을 갖는다면, 유도된 부분그래프 구성에 의해 모순이 발생함을 증명한다.
• 로델의 정리를 적용하여 희박한 강력한 EH-성질과 대칭적인 강력한 EH-성질을 연결함으로써 주요 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 고치자리 분할이 희박한 강력한 에르되시-하자논 성질을 만족하는가?
• RQ2 고치자리 분할과 그 여집합을 모두 배제하는 그래프에 대해 대칭적인 강력한 에르되시-하자논 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 $T$에 대한 어떤 구조적 조건이 $T$-자유 그래프가 고차수 정점 또는 두 개의 큰 반완전 집합을 포함함을 보장하는가?
• RQ4 질량 재현과 $\tau$-버터플라워와 같은 나무 구조를 사용하여 유도된 부분그래프 금지 성질을 분석할 수 있는가?
• RQ5 $T$-자유 그래프에서 $\tau$-버터플라워의 재현이 존재하지 않는다는 것은 그래프의 연결성과 컴포넌트 구조에 대한 구조적 제약을 암시하는가?

주요 결과

• 모든 고치자리 분할 $T$에 대해, 임의의 $T$-자유 그래프 $G$는 차수 $\epsilon |V(G)|$ 이상인 정점이 있거나, $\mu(A), \mu(B) \geq \epsilon$인 두 개의 반완전 집합 $A, B$를 포함한다.
• 고치자리 분할 $T$에 대해 $\tau$-버터플라워는 어떤 $T$-자유 그래프에서도 $\kappa$-재현 가능하지 않으며, 이는 모순 증명의 핵심이다.
• 구성은 $\kappa_p = \epsilon$임을 보장하며, $\kappa_i$ 값의 시퀀스는 $p \geq 2^{\tau^2}$를 보장함으로써 컴포넌트 수를 통제한다.
• $\tau$-노르웨이 $N_q$의 최대 컴포넌트 수는 $p - q$ 이하이며, $q \leq p-1$ 이므로 $N_q$는 최대 한 개의 컴포넌트만 가진다.
• 최종 모순은 $\phi(N_q) \geq 2p$ 이지만 $N_q$는 최대 $\tau^2 - \tau + 1$개의 정점만 가질 수 있기 때문에 발생하며, 이는 큰 $p$에 대해 불가능하다.
• 결과적으로, 임의의 두 고치자리 분할 $H$와 $J$에 대해, $H$-자유이자 $\overline{J}$-자유인 모든 그래프 $G$는 어떤 $c > 0$에 대해 크기 $|V(G)|^c$ 이상의 클리크 또는 안정 집합을 포함한다.