[논문 리뷰] Cellular Stratified Spaces I: Face Categories and Classifying Spaces

Dai Tamaki|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원통형 정규 셀러스트리피드 공간을 도입하고, 그에 대응하는 면 카테고리 C(X)를 정의한다. 이 카테고리의 분류 공간 BC(X)는 자연스럽게 X에 임베딩된다. 셀 복합체의 경우, 이 임베딩은 호메오멀피즘을 이루며, 이는 바리센터릭 분할을 일반화하는 것이다. 전반적으로, 국소적으로 다면체적인 분할 조건이 성립할 경우, BC(X)는 X의 강한 변형 재구성(retract)이 되며, 이는 배치 보완의 살바티 복합체와 모어 이론적 구성의 통합적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The notion of cellular stratified spaces was introduced in a joint work of the author with Basabe, González, and Rudyak [1009.1851] with the aim of constructing a cellular model of the configuration space of a sphere. In particular, it was shown that the classifying space (order complex) of the face poset of a totally normal regular cellular stratified space $X$ can be embedded in $X$ as a strong deformation retract. Here we elaborate on this idea and develop the theory of cellular stratified spaces. We introduce the notion of cylindrically normal cellular stratified spaces and associate a topological category $C(X)$, called the face category, to such a stratified space $X$. We show that the classifying space $BC(X)$ of $C(X)$ can be naturally embedded into $X$. When $X$ is a cell complex, the embedding is a homeomorphism and we obtain an extension of the barycentric subdivision of regular cell complexes. Furthermore, when the cellular stratification on $X$ is locally polyhedral, we show that $BC(X)$ is a deformation retract of $X$. We discuss possible applications at the end of the paper. In particular, the results in this paper can be regarded as a common framework for the Salvetti complex for the complement of a complexified hyperplane arrangement and a version of Morse theory due to Cohen, Jones, and Segal.

연구 동기 및 목표

• 셀러스트리피드 공간의 위상적 구조에 중점을 두어 체계적인 이론을 개발하는 것.
• 원통형 정규 셀러스트리피드 공간에 대해 면 카테고리 C(X)를 정의하는 것.
• 분류 공간 BC(X)가 셀러스트리피드 공간 X에 자연스럽게 임베딩됨을 확립하는 것.
• X가 셀 복합체일 경우, BC(X)가 X와 호메오멀피즘임을 보이며, 이는 고전적인 바리센터릭 분할을 확장하는 것이다.
• 분할이 국소적으로 다면체적일 경우, BC(X)가 X의 강한 변형 재구성임을 증명하여, 배열 보완과 모어 이론적 구성의 통합적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 잘 정의된 국소적 구조를 확보하기 위해 원통형 정규 셀러스트리피드 공간의 개념을 도입하는 것.
• 객체가 세포이고 사상이 면 관계를 표현하는 위상적 카테고리로 면 카테고리 C(X)를 구성하는 것.
• C(X)의 네트워크의 기하적 실현으로서 분류 공간 BC(X)를 정의하는 것.
• 분할의 정규 구조를 이용해 BC(X)에서 X로의 자연스러운 연속 임베딩을 확립하는 것.
• 국소적으로 다면체적 조건을 사용하여, 호모토피 구성으로 인해 임베딩이 변형 재구성임을 증명하는 것.
• 이 프레임워크를 적용하여 기존의 구성, 예를 들어 살바티 복합체와 코헨-존슨-세갈의 모어 이론을 해석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 셀러스트리피드 공간에 자연스럽게 면 카테고리가 연결되어 그 조합론적 및 위상적 구조를 포괄할 수 있는가?
• RQ2 분류 공간 BC(X)가 셀러스트리피드 공간 X에 임베딩되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 임베딩이 호메오멀피즘일 조건은 무엇이며, 바리센터릭 분할을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 BC(X)가 X의 변형 재구성일 조건은 무엇이며, 분할의 어떤 구조적 조건이 이를 보장하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 살바티 복합체와 모어 이론적 모델을 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 면 카테고리 C(X)의 분류 공간 BC(X)는 셀러스트리피드 공간 X에 자연스럽게 임베딩된다.
• X가 셀 복합체일 경우, 임베딩 BC(X) → X는 호메오멀피즘임을 보이며, 이는 고전적인 바리센터릭 분할을 확장하는 것이다.
• 국소적으로 다면체적인 셀러스트리피드 분할의 경우, BC(X)는 X의 강한 변형 재구성이다.
• 이 구성은 복소화된 초평면 배열의 보완을 위한 살바티 복합체를 포함하는 공통 프레임워크를 제공한다.
• 결과적으로, 코헨, 존슨, 세갈의 모어 이론적 요소들이 하나의 범주적이고 기하학적 설정에서 일반화되고 통합된다.