[논문 리뷰] Chance constrained sets approximation: A probabilistic scaling approach -- EXTENDED VERSION

Martina Mammarella, Victor Mirasierra외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 15.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복잡도가 제어 가능한 단순근사집합(SAS)을 사용하여 확률적 제약 조건을 가진 집합을 근사하는 확률적 스케일링 방법을 제안한다. 표본 기반 SAS 구축과 확률적 스케일링 절차를 결합함으로써, 높은 신뢰도로 원하는 위반 확률을 보장하며, 연속적인 모델 예측 제어 및 공동 확률적 제약 조건 하에서의 확률적 집합 멤버십 추정에 대해 효율적인 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, a sample-based procedure for obtaining simple and computable approximations of chance-constrained sets is proposed. The procedure allows to control the complexity of the approximating set, by defining families of simple-approximating sets of given complexity. A probabilistic scaling procedure then allows to rescale these sets to obtain the desired probabilistic guarantees. The proposed approach is shown to be applicable in several problem in systems and control, such as the design of Stochastic Model Predictive Control schemes or the solution of probabilistic set membership estimation problems.

연구 동기 및 목표

• 계산적으로 효율적인 방법을 개발하여 확률적 제약 조건을 가진 집합을 근사하면서도 확률적 타당성 보장을 보장한다.
• 사전 정의된 단순근사집합(SAS)의 가족을 통해 근사집합의 복잡도를 제어할 수 있도록 한다.
• 개별 제약 조건보다 더 현실적이지만 더 복잡한 공동 확률적 제약 조건을 다룰 수 있도록 표본 기반 근사 기법을 확장한다.
• 스토하스틱 모델 예측 제어(SMPC)와 확률적 집합 멤버십 추정에 모두 적용 가능한 통합 프레임워크를 제공한다.
• 제안된 스케일링 절차의 확률적 보장을 수학적으로 분석하고 엄밀히 증명한다.

제안 방법

• 이 방법은 두 단계 절차를 사용한다: 첫째, 표본 데이터로부터 주어진 복잡도의 단순근사집합(SAS)을 구축한다.
• 둘째, 원하는 위반 확률이 높은 신뢰도로 충족되도록 보장하기 위해 SAS에 대한 확률적 스케일링 절차를 적용한다.
• 순서통계와 이항 꼬리 경계를 활용하여 확률적 타당성을 보장하는 최소 스케일링 인자를 결정한다.
• 표본 다각형과 노름 기반 집합의 두 유형의 SAS를 지원하며, 일반화된 노름을 통해 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.
• 이론적 결과로서 통계학적 학습과 순서통계의 결과를 기반으로 하여 유한 표본에 대한 확률적 보장을 보장한다.
• 스케일링 인자는 허용 가능한 제약 위반 수 r에 대해 표본 기반 타당성 측정치 중 (r+1)번째로 작은 값으로 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 계산적으로 다룰 수 있는 내부 근사집합을 구성하여 확률적 타당성 보장을 보장할 수 있는가?
• RQ2 불확실성 하에서 원하는 위반 확률을 높은 신뢰도로 확보하기 위해 필요한 최소 표본 크기는 얼마인가?
• RQ3 확률적 보장을 훼손하지 않으면서 근사집합의 복잡도를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법을 다수의 제약 조건을 동시에 충족해야 하는 공동 확률적 제약 조건을 다룰 수 있도록 확장할 수 있는가?
• RQ5 확률적 스케일링 절차는 스케일된 집합이 원래의 확률적 제약 조건 집합의 유효한 내부 근사집합으로 남아 있는지를 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 ε 이하의 위반 확률이 δ 이하의 신뢰도로 보장되며, 이는 ε, δ 및 문제의 복잡도에 따라 결정되는 표본 크기 N을 사용한다.
• 낮은 복잡도의 SAS, 예를 들어 표본 다각형이나 노름 기반 집합을 선택함으로써 표본 복잡도가 크게 감소한다.
• 전체 제약 조건 집합을 하나의 부울 함수로 간주함으로써 공동 확률적 제약 조건에 대한 확률적 보장을 달성하며, 더 현실적인 제어 및 추정 문제에 적용 가능하다.
• 스케일링 인자는 타당성 측정치의 (r+1)번째 순서통계로 유도되며, 이는 고려된 표본 중 최대 r개의 표본이 스케일된 집합을 위반할 확률이 높다는 것을 보장한다.
• 이론적 분석은 비정규 및 비모수적 불확실성 분포 하에서도 높은 신뢰도로 타당성을 유지함을 확인한다.
• 수치적 검증을 통해 본 방법이 확률적 집합 멤버십 추정에서 효과적임을 입증하였으며, 불확실성 하에서도 정확하고 강건한 식별 성능을 보였다.