[논문 리뷰] Chaos in a quantum rotor model

Gong Cheng, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 29.

Quantum many-body systems참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한한 N, M을 갖는 M성분 양자 회전자 모형에서의 양자 혼돈을 다룬다. 비등온 상에서의 섭동 이론을 사용하여, 회전자 연산자들의 제곱(commutator)이 시간에 따라 지수적으로 증가함을 도출하였으며, 이는 1/M 비례하는 양자 리아프누프 지수를 나타내며, 저온에서는 T⁴ 의존성과 고온에서는 유한한 극한을 갖는다.

ABSTRACT

We study scrambling in a model consisting of a number $N$ of $M$-component quantum rotors coupled by random infinite-range interactions. This model is known to have both a paramagnetic phase and a spin glass phase separated by second order phase transition. We calculate in perturbation theory the squared commutator of rotor fields at different sites in the paramagnetic phase, to leading non-trivial order at large $N$ and large $M$. This quantity diagnoses the onset of quantum chaos in this system, and we show that the squared commutator grows exponentially with time, with a Lyapunov exponent proportional to $\frac{1}{M}$. At high temperature, the Lyapunov exponent limits to a value set by the microscopic couplings, while at low temperature, the exponent exhibits a $T^4$ dependence on temperature $T$.

연구 동기 및 목표

• 무한거리 랜덤 결합을 갖는 상호작용 양자 회전자 모형에서의 양자 혼돈을 연구하기 위해.
• 사치데-예-키타에브(Sachdev-Ye-Kitaev) 모형에서 관찰된 최대 혼돈이 실험적으로 실현 가능한 스핀 유사 시스템에서 실현될 수 있는지 확인하기 위해.
• 양자临界점 근처의 비등온 상에서 시간 순서를 뒤바꾼 상관관계(OTOC)와 그에 관련된 리아프누프 지수의 거동를 분석하기 위해.
• 비등온 상에서의 기초를 마련한 후 스핀 유리상과의 혼돈과 유리성의 상호작용을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 모형은 N개의 M성분 양자 회전자로 구성되며, 상호작용 항은 J_ij가 평균 0, 분산 J²/N인 가우시안 분포에서 추출된 결합 상수를 갖는 해밀토니안으로 기술된다.
• 대규모 N 및 대규모 M 근사에서 섭동 이론을 적용하여, 양자 혼돈의 진단 도구로 쓰이는 회전자 연산자들의 제곱(commutator)을 계산한다.
• 스윙거-다이슨 접근법을 사용하여 회전자 장의 네점함수를 계산하고, 자가에너지 보정과 단계도 상쇄를 통해 주요 순서의 양자 보정을 포착한다.
• 후행 두점함수와 스펙트럼 함수를 유도하고, OTOC의 시간 진화에 대한 커널을 운동량 공간에서 구성하여 리아프누프 지수를 위한 고유값 문제를 유도한다.
• 시간 진화 커널의 행렬을 이산화된 주파수 격자에서 수치적으로 대각화하여 최대 고유값을 추출하고, 이를 양자 혼돈 지수 λ_c로 식별한다.
• 저온에서의 수치 정밀도 향상을 위해 차원 없는 주파수로 스케일링하고, 보즈-아인슈타인 분포에서 급격한 변화가 일어나는 영역 근처에 적응형 격자 구조를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한거리 랜덤 상호작용을 갖는 양자 회전자 모형에서 제곱(commutator)이 지수적으로 증가하여 양자 혼돈을 나타내는가?
• RQ2 이 회전자 모형에서 양자 리아프누프 지수는 성분 수 M과 온도 T에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비등온 상과 스핀 유리상 사이의 양자 임계점 근처에서 리아프누프 지수의 거동는 어떠한가?
• RQ4 저온에서 다른 혼돈 시스템과 마찬가지로 리아프누프 지수에 T⁴ 의존성이 존재하는가?
• RQ5 리아프누프 지수는 보편적 한계 2πT/ħ에 의해 제한되며, 이 한계에 어떻게 접근하는가?

주요 결과

• 회전자 연산자들의 제곱(commutator)이 시간에 따라 지수적으로 증가함을 확인하여, 비등온 상에서의 양자 혼돈 존재를 확인한다.
• 양자 리아프누프 지수 λ는 1/M에 비례함을 나타내어, 성분 수를 늘릴수록 혼돈이 감소함을 시사한다.
• 고온에서는 리아프누프 지수는 미세 구조 상수 J에 의해 결정되는 유한한 값으로 수렴한다.
• 저온에서는 리아프누프 지수에 T⁴ 의존성이 나타나며, 일부 conformal field theories와 일치하는 행동을 보인다.
• OTOC 진화 커널의 최대 고유값을 수치적으로 계산하여 혼돈 지수 λ_c를 추출하였으며, 이는 이산화된 주파수 격자에서의 행렬 대각화를 통해 이루어진다.
• 발산하는 자가에너지 기여는 다이어그램 보정에 의해 상쇄되어 리아프누프 지수에 대해 유한한 물리적 결과를 보장한다.