[논문 리뷰] Characteristic foliation on non-uniruled smooth divisors on hyperkaehler manifolds

Ekaterina Amerik, Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 해밀턴 다양체 $X$ 내의 매끄러운 초면 $D$ 위의 특성 폴리아션($\mathcal{F}$)이 대수적일 조건을 분류한다. 비유계 곡선을 가진 폴리아션은 오직 $X$가 대칭 표면과 다른 대칭 다양체의 곱이며, $D$가 그 표면 위의 곡선의 역상일 때에만 발생할 수 있음을 증명한다. 핵심 통찰은 잎의 가닥의 오비폴드 기저의 표준 클래스가 자명하다는 것이며, 이는 폴리아션의 등가성과 $D$의 기하학적 제약을 암시한다.

ABSTRACT

We prove that the characteristic foliation $F$ on a non-singular divisor $D$ in an irreducible projective hyperkaehler manifold $X$ cannot be algebraic, unless the leaves of $F$ are rational curves or $X$ is a surface. More generally, we show that if $X$ is an arbitrary projective manifold carrying a holomorphic symplectic $2$-form, and $D$ and $F$ are as above, then $F$ can be algebraic with non-rational leaves only when, up to a finite étale cover, $X$ is the product of a symplectic projective manifold $Y$ with a symplectic surface and $D$ is the pull-back of a curve on this surface. When $D$ is of general type, the fact that $F$ cannot be algebraic unless $X$ is a surface was proved by Hwang and Viehweg. The main new ingredient for our results is the observation that the canonical bundle of the (apriori, orbifold; but the orbifold structure is actually trivial) base of the family of leaves must be torsion. This implies, in particular, the isotriviality of the family of leaves of $F$. We also make some remarks in the Kähler case and apply this to the Lagrangian conjecture in the last section.

연구 동기 및 목표

• 복소 해밀턴 다양체 $X$ 내의 매끄러운 초면 $D$ 위의 특성 폴리아션 $\mathcal{F}$가 대수적일 조건을 분류하는 것.
• 폴리아션의 잎이 종수 $g > 0$를 가질 때, $X$와 $D$의 기하학적 구조를 규명하는 것.
• 하우언과 비에흐베그의 일반 유형 초면에 대한 결과를 더 넓은 비유계 초면의 경우로 확장하는 것.
• 특성 폴리아션의 잎 가닥의 오비폴드 기저의 표준 클래스가 자명하다는 것을 증명하여, 이는 폴리아션의 등가성을 이끌어내는 것.

제안 방법

• 제한된 복소 해밀턴 2형식 $\sigma|_D$의 핵을 통해 매끄러운 초면 $D$ 위의 특성 폴리아션 $\mathcal{F}$를 정의하며, 이는 계수 1의 폴리아션이다.
• 매끄러운 초면 $D$ 위에 전지수인 $(d-1)$-형식 $\omega = \sigma^{\wedge(n-1)}$의 존재를 이용해 폴리아션을 대수적으로 정의한다.
• 대수적 폴리아션 $\mathcal{F}$와 관련된 분할 $f: D \to B$를 분석하여, 이 분할이 코디멘션 1에서 다重근이 없는 등가성임을 보인다.
• 대칭 구조와 폴리아션의 기하학을 이용해, 잎의 가닥의 오비폴드 기저 $B$의 표준 클래스 $K_B$가 자명하다는 것을 증명한다.
• 알바네제 사상과 변형 이론을 적용하여 이타카 분할의 섹션 $F$를 분석하며, $F$가 토러스거나 알바네제 차원이 $n-1$임을 보여, 폴리아션에 대한 제약을 이끌어낸다.
• 접합 공식과 $K_D$가 네프이자 충분히 존재함을 이용해, $K_D$가 수치적으로 자명할 경우 잎이 타원 곡선이어야 한다는 것을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 해밀턴 다양체 $X$ 내의 매끄러운 초면 $D$ 위의 특성 폴리아션 $\mathcal{F}$가 언제 대수적일까?
• RQ2 특성 폴리아션의 잎이 비유계 곡선이 될 수 있는 조건은 무엇이며, 이는 $X$와 $D$의 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 특성 폴리아션의 잎 가닥의 기저의 구조는 어떻게 되며, 그 표준 클래스의 성질은 무엇인가?
• RQ4 잎의 가닥의 등가성이 $D$ 위의 가능한 변형과 분할에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 $K_D$가 반준가역적일 경우 $\mathcal{O}_X(D)$의 반준가역성에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 복소 해밀턴 다양체 $X$ 내의 매끄러운 초면 $D$ 위의 특성 폴리아션 $\mathcal{F}$는 비유계 곡선을 가진 경우, 유한 에탈 코팅을 거쳐 $X$가 대칭 표면과 다른 대칭 다양체의 곱이 되는 경우에만 대수적일 수 있다.
• 만약 $D$가 비유계이면서 $\mathcal{F}$가 대수적이고 종수 $g > 0$를 가진다면, $X$는 유한 에탈 코팅을 거쳐 $S \times Y$와 동형이 되며, 여기서 $S$는 대칭 표면이고 $D = C \times Y$이며, $C \subset S$는 곡선이며, 폴리아션은 $S$ 위의 분할의 역상이다.
• 잎의 가닥의 오비폴드 기저 $B$의 표준 클래스 $K_B$는 자명하다. 이는 분할 $f: D \to B$의 등가성을 암시한다.
• $K_D$가 반준가역적일 경우 $\mathcal{O}_X(D)$는 반준가역적이며, 이는 차원 $2n-1$에서의 부담 추측이 성립할 경우에 성립한다. 이는 차원 3에서는 알려져 있다.
• 차원 4인 비가역 하이퍼카일러 다양체 $X$에 대해, 만약 $D$가 매끄럽고 효과적이며 네프인 초면이라면 $\mathcal{O}_X(D)$는 반준가역적이다. 이는 이 경우 라그랑주 추측을 확인하는 것이다.
• $\mathcal{F}$의 잎은 유계 곡선 또는 타원 곡선이다. 특히 $K_D$가 수치적으로 자명하고 $F$가 이타카 분할의 섹션이라면, $F$는 토러스거나 알바네제 차원이 $n-1$이어야 하며, 잎은 타원 곡선이어야 한다.