[논문 리뷰] Characteristic random subgroups of geometric groups and free abelian groups of infinite rank

Lewis Bowen, Rostislav Grigorchuk외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 랭크 자유 아벨 군과 무한 랭크 기본 $p$-군에서 특성 랜덤 부분군(CRS)을 분류하고, 이들이 연속적이고 에르고딕인 CRS를 $2^{\aleph_0}$개 가진다는 것을 증명한다. 또한 비기본 워드 하이퍼볼릭 군, 하이퍼볼릭 곡면의 매핑 클래스 군, 비아벨 자유군의 외부자기동형군 $\mathrm{Out}(F_n)$($n \geq 2$) 역시 $2^{\aleph_0}$개의 연속적이고 에르고딕인 불변 랜덤 부분군(IRS)을 가짐을 보이며, 폰트리아진 쌍대성과 이중군 위의 자동형군-불변 측도를 사용한다.

ABSTRACT

We show that if $G$ is a non-elementary word hyperbolic group, mapping class group of a hyperbolic surface or the outer automorphism group of a nonabelian free group then $G$ has $2^{\aleph_0}$ many continuous ergodic invariant random subgroups. If $G$ is a nonabelian free group then $G$ has $2^{\aleph_0}$ many continuous $G$-ergodic characteristic random subgroups. We also provide a complete classification of characteristic random subgroups of free abelian groups of countably infinite rank and elementary $p$-groups of countably infinite rank.

연구 동기 및 목표

• 자유 아벨 군의 가чёт 무한 랭크와 무한 랭크 기본 $p$-군에서 특성 랜덤 부분군(CRS)을 분류하는 것.
• 비기본 워드 하이퍼볼릭 군, 하이퍼볼릭 곡면의 매핑 클래스 군, $n \geq 2$인 $\mathrm{Out}(F_n)$에서 $2^{\aleph_0}$개의 연속적이고 에르고딕인 불변 랜덤 부분군(IRS)의 존재를 확립하는 것.
• 이중군 위의 자동형군-불변 측도와 폰트리아진 쌍대성을 사용하여 기하학적 군과 아벨 군에서 CRS와 IRS를 특성화하는 것.

제안 방법

• 자기동형군의 쌍대성에 따라 아벨 군에서 CRS의 분류를 그 이중군 위의 불변 측도로 변환하며, 특히 무한 차원 토러스 $\mathbb{T}^\mathbb{N}$에 적용한다.
• 닫힌 부분군의 공간 $\mathrm{Sub}(G)$에서 약한* 위상과 카바우티 위상을 사용하여 랜덤 부분군의 수렴성과 불변성을 분석한다.
• 푸리에 변환과 궤도 분해를 사용하여 자유 아벨 군 $\mathcal{A} = \oplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}$의 이중군 $\hat{\mathcal{A}}$ 위에서 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 측도를 특성화한다.
• 모든 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 측도가 유한 랭크 부분군 $\mathbb{Z}[1/r]/\mathbb{Z}$ 위에서의 값에 의해 결정되며, 이는 에르고딕 성분으로의 분해로 이어진다.
• choquet 이론을 활용하여 임의의 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 측도를 에르고딕 $\nu_r$ 측도 집합 위의 확률 측도의 바리센터로 표현한다.
• 이중군 $\hat{\mathcal{A}}$가 집합 $\hat{\mathcal{A}}'_r$들의 서로소 합집합으로 분해된다는 사실을 이용하여, $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 에르고딕 측도가 정확히 $\nu_r$($r \in \{1,2,\dots,\infty\}$)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 아벨 군의 가чёт 무한 랭크에서 특성 랜덤 부분군의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ2 비기본 워드 하이퍼볼릭 군과 관련 기하학적 군에서 연속적이고 에르고딕인 불변 랜덤 부분군은 얼마나 존재하는가?
• RQ3 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 측도의 공간이 에르고딕 분해를 통해 완전히 묘사될 수 있는가?
• RQ4 폰트리아진 쌍대성은 특성 랜덤 부분군의 분류를 자동형군-불변 측도의 연구로 어떻게 축소시키는가?
• RQ5 비아벨 기하학적 군, 예를 들어 $\mathrm{Out}(F_n)$나 매핑 클래스 군에서 비가산 수의 연속적이고 에르고딕인 CRS가 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 자유 아벨 군 $\mathcal{A} = \oplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}$가 정확히 $2^{\aleph_0}$개의 연속적이고 에르고딕인 특성 랜덤 부분군을 가지며, 이는 비가산 수의 에르고딕 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 측도 $\nu_r$($r \in \{1,2,\dots,\infty\}$)에 대응됨을 증명한다.
• 비기본 워드 하이퍼볼릭 군, 하이퍼볼릭 곡면의 매핑 클래스 군, 또는 $n \geq 2$인 $\mathrm{Out}(F_n)$의 경우, 모두 $2^{\aleph_0}$개의 연속적이고 에르고딕인 불변 랜덤 부분군을 가진다.
• $\hat{\mathcal{A}}$에서 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 에르고딕 측도의 공간은 정확히 집합 $\{\nu_r \mid r \in \{1,2,\dots,\infty\}\}$이며, 여기서 $\nu_r$는 $({\mathbb{Z}}[1/r]/{\mathbb{Z}})^\mathbb{N}$ 위의 Haar 측도이다.
• 임의의 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 확률 측도는 집합 $\{\nu_r\}$ 위에 지지된 확률 측도의 바리센터이며, 계수 $a_r = \nu(\hat{\mathcal{A}}'_r) \geq 0$를 가진다.
• 군 $\mathcal{A}$에서 CRS의 분류는 $\hat{\mathcal{A}}$가 서로소인 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-불변 집합 $\hat{\mathcal{A}}'_r$로 분해되며, $\nu_r$가 $\hat{\mathcal{A}}_r$ 위에 지지되며 $r = s$이면 $\nu_r(\hat{\mathcal{A}}'_r) = 1$, 그렇지 않으면 0임을 이용한다.
• 논문은 기본 $p$-군의 무한 랭크에서 특성 랜덤 부분군의 완전한 분류를, 아벨 경우와 유사한 쌍대성과 측도 이론적 기법을 통해 수립한다.