[논문 리뷰] On rigid stabilizers and invariant random subgroups of groups of homeomorphisms

Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 56인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 가산군이 하우스도르프 공간에 작용할 때 불변 랜덤 부분군(Invariant Random Subgroups, IRSs)에 대해 일반화된 이중 교환자 보조정리(double commutator lemma)를 수립하며, 에르고딕 IRSs가 거의 확률적으로 열린 집합의 강성 정 stabilizer의 도함수 부분군을 포함함을 보여준다. 응용으로는 캔터 미니멀 $Σ^d$-시스템의 위상적 전체군(topological full groups)의 에르고딕 IRSs를 분류하고, 제1 그리고르추크 군의 모든 IRSs가 공-소픽(co-sofic)임을 증명하여 문헌에 제기된 질문을 해결한다.

ABSTRACT

A generalization of the double commutator lemma for normal subgroups is shown for invariant random subgroups of a countable group acting faithfully on a Hausdorff space. As an application, we classify ergodic invariant random subgroups of topological full groups of Cantor minimal $\mathbb{Z}^{d}$-systems. Another corollary is that for an ergodic invariant random subgroup of a branch group, a.e. subgroup $H$ must contain derived subgroups of certain rigid stabilizers. Such results can be applied towards classification of invariant random subgroups of Grigorchuk groups.

연구 동기 및 목표

• 가산군이 하우스도르프 공간에 작용할 때, 정규 부분군에 대한 전통적인 이중 교환자 보조정리를 불변 랜덤 부분군(Invariant Random Subgroups, IRSs)으로 확장한다.
• 캔터 미니멀 $Σ^d$-시스템의 위상적 전체군의 에르고딕 IRSs를 분류한다.
• 제1 그리고르추크 군의 모든 IRSs가 공-소픽임을 증명하며, Becker, Lubotzky, 그리고 Thom (2019)에서 제기된 질문에 응답한다.
• 지점군(branch groups)에서 IRSs의 구조적 성질을 수립하여, 거의 확률적으로 IRS $H$가 특정 강성 정 stabilizer의 도함수 부분군을 포함함을 보인다.

제안 방법

• 하우스도르프 공간에서의 군 작용에 대한 위상적 및 측도론적 추론을 통해 정규 부분군에 대한 고전적 이중 교환자 보조정리를 에르고딕 IRSs로 일반화한다.
• 군의 원소들에 대한 군의 그룹로이드의 기저와 그들의 대칭 및 교환 전체군의 구조를 이용하여, 일반화된 보조정리를 캔터 미니멀 $Σ^d$-시스템의 위상적 전체군에 적용한다.
• 브라텔리 다이어그램 기법과 경로 공간의 渐近적 분석을 통해 측도의 수렴성과 IRSs의 지지 집합을 연구한다.
• 곱 측도 구성과 약한-* 극한을 활용하여, 애매군에서 IRSs의 공-소픽성을 분석한다.
• 단순한 브라텔리 다이어그램의 경우, 연결의 최소 차수는 수준이 증가함에 따라 증가하므로, 수량적 추론에서 비율의 수렴을 가능하게 한다.
• 브라텔리 다이어그램에서 불변 측도 이론의 결과를 활용하고, $σ$-작용 하에서 $X^{(k)}$의 에르고딕 측도를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 부분군에 대한 이중 교환자 보조정리는 불변 랜덤 부분군으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 캔터 미니멀 $Σ^d$-시스템의 위상적 전체군에서 에르고딕 IRSs의 구조는 어떠한가?
• RQ3 제1 그리고르추크 군의 모든 IRSs는 공-소픽인가?
• RQ4 지점군에서 IRS가 강성 정 stabilizer의 도함수 부분군을 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 곱 측도 $X^{(k)}$는 유한 부분집합의 공간에서의 에르고딕 $σ$-불변 측도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 에르고딕 IRSs에 대해 일반화된 이중 교환자 보조정리가 성립한다: 거의 확률적으로 IRS $H$는 어떤 비어있지 않은 열린 집합 $U \subseteq X$에 대해 $[R_G(U), R_G(U)]$를 포함한다.
• 캔터 미니멀 $Σ^d$-시스템의 위상적 전체군에서는, 모든 에르고딕 IRSs가 $(x_1,\dots,x_k) \mapsto \{x_1,\dots,x_k\}$에 의한 곱 측도의 전이(푸시포워드)로 나타난다.
• 제1 그리고르추크 군의 모든 IRSs는 공-소픽이며, Becker, Lubotzky, 그리고 Thom (2019)에서 제기된 추측을 확인한다.
• 지점군에서, $R_G(U)$가 $U$에서 고정점을 가지 않는 한, 거의 확률적으로 IRS $H$는 $R_G(U)$의 도함수 부분군을 포함한다.
• 단순한 브라텔리 다이어그램에서 경로 공간이 캔터 공간인 경우, $n \to \infty$일 때 비율 $\mathbb{P}(K \cdot g \subseteq U) / \prod_{i=1}^k \mathbb{P}(z_i \cdot g \in U)$는 1로 수렴한다.
• 에르고딕 $σ$-불변 측도는 $X^{(k)}$에서 정확히 유한 부분집합으로의 사상 하에서 곱 측도 $\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$의 전이(푸시포워드)이며, $\mu_i$가 에르고딕일 때 성립한다.