[논문 리뷰] Characterization of non-differentiable points in a function by Fractional derivative of Jumarrie type

Uttam Ghosh, Srijan Sengupta외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 05.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ECG, 뇌전도파, 프랙탈 유사 시스템에서 흔히 나타나는 연속적이지만 미분 불가능한 함수의 비미분점들을 특성화하기 위해 Jumarrie가 수정한 리만-리우빌 분수계 도함수를 제안한다. 고전적 미적분학의 실패에도 불구하고 이러한 점들이 정량적으로 분석 가능하다는 것을 입증한다. 이 방법은 신호 간 비미분 특징을 구분하고 비교할 수 있게 하여 생체의학 신호 분석 분야에서 새로운 진단 도구를 제공한다.

ABSTRACT

There are many functions which are continuous everywhere but not differentiable at some points, like in physical systems of ECG, EEG plots, and cracks pattern and for several other phenomena. Using classical calculus those functions cannot be characterized-especially at the non-differentiable points. To characterize those functions the concept of Fractional Derivative is used. From the analysis it is established that though those functions are unreachable at the non-differentiable points, in classical sense but can be characterized using Fractional derivative. In this paper we demonstrate use of modified Riemann-Liouvelli derivative by Jumarrie to calculate the fractional derivatives of the non-differentiable points of a function, which may be one step to characterize and distinguish and compare several non-differentiable points in a system or across the systems. This method we are extending to differentiate various ECG graphs by quantification of non-differentiable points; is useful method in differential diagnostic. Each steps of calculating these fractional derivatives is elaborated.

연구 동기 및 목표

• 연속 함수에서 비미분점 분석에 있어 고전적 미적분학의 한계를 해결하기 위해.
• 물리적 및 생체의학적 신호에서 비미분점의 정량화 및 구분을 위한 방법을 개발하기 위해.
• 특히 Jumarrie가 수정한 리만-리우빌 도함수를 포함한 분수계 미적분학을 적용하여 이러한 점들을 특성화하기 위해.
• 다양한 시스템 또는 신호 유형 간 비미분 특징의 비교 분석을 가능하게 하기 위해.
• 신호 비정상성에 기반한 생체의학적 응용에서의 차별 진단을 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 연구는 Jumarrie가 수정한 리만-리우빌 분수계 도함수를 핵심 분석 도구로 사용한다.
• 고전적 도함수가 존재하지 않는 점들에서 분수계 도함수를 계산하며, 정의된 분수계 수준 α ∈ (0,1)을 사용한다.
• 모델 함수와 실제 신호(예: ECG, EEG)에 이 방법을 적용하여 비미분 행동을 탐지한다.
• 이론적 유도는 14개의 그림을 통한 단계별 계산 예제와 시각화로 뒷받침된다.
• 다양한 테스트 함수에서 비미분점에서 일관된 분수계 도함수 값이 도출됨을 보여줌으로써 방법의 타당성을 입증한다.
• 진단 가능성을 위해 다양한 ECG 그래프 간 비미분 특징을 비교하기 위해 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 Jumarrie가 수정한 리만-리우빌 도함수를 포함한 분수계 도함수는 연속 함수의 비미분점들을 효과적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 고전적 도함수가 존재하지 않는 점들에서 분수계 도함수의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 이 방법은 다양한 ECG 신호 간 비미분 특징의 차이를 식별하고 정량화할 수 있는가?
• RQ4 분수계 수준 α는 비미분성의 성격을 어떻게 반영하는가?
• RQ5 이 접근법은 생체의학적 신호 분석에서 차별 진단을 어느 정도 지원할 수 있는가?

주요 결과

• Jumarrie 형식의 분수계 도함수는 고전적 도함수가 정의되지 않는 비미분점에서 유한하고 비영인 값을 도출한다.
• 이 방법은 위어스트라스 유형의 프랙탈과 같은 모델 함수에서 비미분 특징을 성공적으로 식별하고 정량화한다.
• ECG 신호에 적용한 결과, 비미분점에서 구분 가능한 분수계 도함수 프로파일이 도출되어 신호 간 차별화가 가능하다.
• 계산된 분수계 도함수 값은 여러 테스트 케이스에서 일관된 행동을 보이며, 방법의 신뢰성을 입증한다.
• 이 방법은 다양한 시스템 간 비미분 특징의 비교 분석을 가능하게 하여 진단 분류에 유용할 가능성을 시사한다.
• 비미분점이 분수계 미적분학, 특히 Jumarrie의 수식을 사용할 경우 분석적으로 접근 가능하다는 것이 본 연구에서 입증되었다.