[논문 리뷰] Characterizations of processes with stationary and independent increments under $G$-expectation

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $G$-기대 하에서 정적이고 독립적인 증분을 갖는 과정을 특성화하며, 그 적분자들이 상수일 경우 이러한 과정이 반드시 결정론적이어야 한다는 것을 증명한다. 또한 $G$-브라운 운동에 대한 마링갈 특성화를 수립하고, 일반화된 $G$-브라운 운동에 대한 분해 정리를 제시하여, 영균을 갖는 임의의 일반화된 $G$-브라운 운동이 대칭적인 $G$-브라운 운동과 정적이고 독립적인 증분을 갖는 비음성, 비증가성 $G$-마링갈로 분해된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Our purpose is to investigate properties for processes with stationary and independent increments under $G$-expectation. As applications, we prove the martingale characterization to $G$-Brownian motion and present a decomposition for generalized $G$-Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 정적이고 독립적인 증분을 갖는 과정의 구조와 성질을 $G$-기대의 맥락에서 조사하는 것.
• 유한 변동성을 갖는 $G$-마링갈의 표현에 관하여 미해결된 문제를 해결하는 것.
• $G$-브라운 운동의 제곱변동 과정에 기반한 마링갈 특성화를 수립하는 것.
• 일반화된 $G$-브라운 운동이 대칭적인 $G$-브라운 운동과 정적이고 독립적인 증분을 갖는 비음성, 비증가성 $G$-마링갈로 분해된다는 분해 정리를 증명하는 것.

제안 방법

• $A_t = \int_0^t h_s \, ds$ 또는 $A_t = \int_0^t h_s \, d\langle B\rangle_s$가 $h \in M^1_G(0,T)$ 또는 $h \in M^{1,+}_G(0,T)$ 이면서 정적이고 독립적인 증분을 갖는다면, 그때 $h \equiv c$ for some constant $c$ 라는 것을 증명한다.
• 부분선형 기대 프레임워크와 $G$-기대의 성질을 이용하여 정적이고 독립적인 증분을 갖는 과정의 분포를 분석한다.
• 이토의 공식과 $G$-이토 적분 이론을 적용하여 $\langle B\rangle_t$와 $G$-기대 적분을 포함하는 과정의 마링갈 성질을 도출한다.
• 유계 $G$-마링갈과 비증가성 $G$-마링갈을 이용한 분해 접근법을 활용하여 일반화된 $G$-브라운 운동의 구조를 분석한다.
• 모든 비감소성 $f \in C_{b,lip}(\mathbb{R})$에 대해 $f(M_t)$가 $G$-마링갈임을 이용하여 유한 변동성을 갖는 $G$-마링갈을 특성화한다.
• $G$-마링갈 수렴 이론과 $H^0_G(0,T)$ 내의 기본 과정을 통한 근사 기법을 적용하여 표현 및 구조적 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $G$-기대 하에서 정적이고 독립적인 증분을 갖는 과정이 결정론적 과정으로 줄어들까?
• RQ2 $\frac{d}{ds}\langle B\rangle_s$는 $M^1_G(0,T)$에 속하는가? 그리고 $G$-마링갈 표현의 유일성에 대해 어떤 함의가 있는가?
• RQ3 $G$-브라운 운동이 제곱변동 과정의 정적이고 독립적인 증분에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ4 영균을 갖는 모든 일반화된 $G$-브라운 운동은 대칭적인 $G$-브라운 운동과 정적이고 독립적인 증분을 갖는 비음성, 비증가성 $G$-마링갈로 분해될 수 있는가?
• RQ5 대칭적인 $G$-마링갈이 $G$-브라운 운동이 되기 위한 필요충분조건은 무엇인가?

주요 결과

• $\frac{d}{ds}\langle B\rangle_s$는 $M^1_G(0,T)$에 속하지 않으며, 이는 유한 변동성을 갖는 $G$-마링갈의 표현이 유일하지 않다는 것을 의미한다.
• 대칭적인 $G$-마링갈 $\{M_t\}$은 그 제곱변동 과정 $\{\langle M\rangle_t\}$이 정적이고 독립적인 증분을 갖는다 하면, $G$-브라운 운동임이 필요하고 충분하다.
• 대칭적인 $G$-마링갈 $\{M_t\}$은 $\langle M\rangle_t = c\langle B\rangle_t$ for some $c \geq 0$ 라면, $G$-브라운 운동임이 필요하고 충분하다. 이는 필수적이고도 충분한 조건를 확립한다.
• 영균을 갖는 임의의 일반화된 $G$-브라운 운동 $\{X_t\}$는 분해 $X_t = M_t + L_t$를 갖는다. 여기서 $\{M_t\}$은 대칭적인 $G$-브라운 운동이고, $\{L_t\}$는 정적이고 독립적인 증분을 갖는 비음성, 비증가성 $G$-마링갈이다.
• 유한 변동성을 갖는 $G$-마링갈은 모든 비감소성 $f \in C_{b,lip}(\mathbb{R})$에 대해 $f(M_t)$가 $G$-마링갈임을 특성화하는 성질을 갖는다. 이는 이러한 과정의 구조적 기준을 제공한다.
• 유한 변동성을 갖는 $G$-마링갈의 집합은 비감소성 리프시츠 함수와의 복합에 대해 닫혀 있으며, 이러한 과정들은 $H^0_G(0,T)$ 내의 기본 과정을 통해 근사될 수 있다.