[논문 리뷰] G-Brownian Motion and Dynamic Risk Measure under Volatility Uncertainty

Shigē Péng|ArXiv.org|2007. 11. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 43인용 수 156

한 줄 요약

이 논문은 비선형 기대값 프레임워크를 개발하여 복잡한 이토 미적분의 일반화인 볼atility 불확실성 하에서 G-브라운 motion과 동적 위험 측도를 도입한다. 주요 기여는 G-정규 분포로 이어지는 새로운 중심극한정리로, 모델의 모호성 하에서도 강건한 금융 리스크 모델링이 가능하게 하며, 확률적 미분방정식과 비선형 페인만-카프 공식에 적용된다.

ABSTRACT

We introduce a new notion of G-normal distributions. This will bring us to a new framework of stochastic calculus of Ito's type (Ito's integral, Ito's formula, Ito's equation) through the corresponding G-Brownian motion. We will also present analytical calculations and some new statistical methods with application to risk analysis in finance under volatility uncertainty. Our basic point of view is: sublinear expectation theory is very like its special situation of linear expectation in the classical probability theory. Under a sublinear expectation space we still can introduce the notion of distributions, of random variables, as well as the notions of joint distributions, marginal distributions, etc. A particularly interesting phenomenon in sublinear situations is that a random variable Y is independent to X does not automatically implies that X is independent to Y. Two important theorems have been proved: The law of large number and the central limit theorem.

연구 동기 및 목표

• 비선형 기대값을 사용하여 모델 불확실성 하에서의 확률적 미적분을 개발한다.
• 비선형 기대값 공간에서 고전적 브라운 운동의 일반화로 G-브라운 운동을 정의한다.
• 볼atility 불확실성 하에서 G-정규 분포로 이어지는 G-중앙극한정리를 수립한다.
• 비선형 기대값에 기반한 동적 위험 측도, 즉 G-리스크 측도를 구축한다.
• G-브라운 운동 하에서 이토 공식과 확률적 미분방정식을 포함한 이토 미적분을 확장한다.

제안 방법

• 비선형 기대값 하에서 동일하게 분포된 독립적 랜덤 변수들의 합의 극한으로 G-정규 분포를 구성하여 고전적 중심극한정리를 일반화한다.
• 비선형 기대값 하에서 연속적이고 독립적, 정적 증분을 가지며 이차변화과정이 독립적 증분을 가지는 프로세스로 G-브라운 운동을 정의한다.
• 보흐너 적분과 이차변화과정을 사용하여 G-이토 적분과 G-이토 공식을 개발한다.
• G-마팅게일과 G-볼록 함수를 도입하고, 비선형 기대값에 대한 젠센 유형 부등식을 수립한다.
• G-역동성 하에서 피카르 반복을 통해 확률적 미분방정식을 해결한다.
• 비선형 페인만-카프 공식을 유도하고, G-생성자에 의해 유도되는 편미분방정식의 점성해 이론을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 기대값의 맥락에서 중심극한정리를 어떻게 일반화할 수 있으며, 이를 볼atility 불확실성 모델링에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ2 G-브라운 운동 하에서의 확률적 미적분의 구조는 무엇이며, 고전적 이토 미적분과 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ3 비선형 기대값에서 동적 위험 측도를 구성할 수 있으며, 이는 일관된 위험 측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 G-확률적 미분방정식은 어떻게 행동하며, 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 G-브라운 운동과 완전히 비선형 편미분방정식의 점성해 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비선형 기대값 하에서의 새로운 중심극한정리에 의해 법적 수렴이 G-정규 분포 N(0, [σ̲², σ̄²])로 수렴하며, 여기서 σ̄² = ℰ̂[X²] 및 σ̲² = −ℰ̂[−X²]이다.
• G-브라운 운동은 그 이차변화과정 ⟨B⟩가 독립적이고 정적 증분을 가지며, 고전적 성질을 일반화하는 풍부한 구조를 지닌다.
• G-이토 공식이 이론적 프레임워크 내에서 유도되었으며, G-브라운 운동에 대한 이토 적분이 가능함을 보였다.
• G-브라운 운동에 의해 유도되는 확률적 미분방정식은 피카르 반복을 통해 고유한 해를 가짐을 보였으며, 고전적 존재 결과를 일반화하였다.
• 비선형 페인만-카프 공식이 수립되었으며, 완전히 비선형 편미분방정식의 해가 G-기대값과 후방 확률적 미분방정식과 연결됨을 보였다.
• G-생성자에 의해 유도되는 편미분방정식의 점성해 이론이 개발되었으며, 하위해와 초하위해에 대한 비교 및 지배 정리가 포함되어 있다.