[논문 리뷰] Characterizing Symmetric Spaces by their Lyapunov Spectra

Clark Butler|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 58인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 폐포된 음의 곡률을 가진 국소 대칭 공간이, 동치 위상의 다양체들 사이에서 지오데식 흐름의 주기 궤도들의 리아풀로프 스펙트럼에 의해 등급 이so메트리에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다. 수평 측도라는 새로운 불변 측도를 도입하고, 그 리아풀로프 스펙트럼이 국소 등급 이so메트리 고정성에 충분함을 보여, 곡률 압축 고정성과 유사한 스펙트럼 특성화를 수립한다. 이는 궤도 등가성을 통해 아노소프 흐름으로의 결과 확장된다.

ABSTRACT

We prove that closed negatively curved locally symmetric spaces are characterized up to isometry among all homotopy equivalent negatively curved manifolds by the Lyapunov spectra of the periodic orbits of their geodesic flows. This is done by constructing a new invariant measure for the geodesic flow that we refer to as the horizontal measure. We show that the Lyapunov spectrum of the horizontal measure alone suffices to locally characterize these locally symmetric spaces up to isometry. We associate to the horizontal measure a new invariant, the horizontal dimension. We tie this invariant to extensions of curvature pinching rigidity theorems for complex hyperbolic manifolds to pinching rigidity theorems for the Lyapunov spectrum. Our methods extend to give a rigidity theorem for smooth Anosov flows $f^{t}$ orbit equivalent to the geodesic flow $g^{t}_{X}$ of a closed negatively curved locally symmetric space $X$: $f^{t}$ is smoothly orbit equivalent to $g^{t}_{X}$ if and only if its Lyapunov spectra on all periodic orbits are a multiple of the corresponding Lyapunov spectra for $g^{t}_{X}$.

연구 동기 및 목표

• 폐포된 음의 곡률을 가진 국소 대칭 공간의 등급 이so메트리에 대해 스펙트럼 특성화를 수립하는 것.
• 지오데식 흐름에 대한 새로운 불변으로서의 수평 측도를 도입하고, 그 리아풀로프 스펙트럼이 본질적인 기하 정보를 포착함을 분석하는 것.
• 복소 하이퍼볼릭 공간 및 기타 대칭 공간에 대해 곡률 압축 고정성 정리들을 리아풀로프 스펙트럼의 설정으로 확장하는 것.
• 지오데식 흐름과 궤도 등가인 매끄러운 아노소프 흐름에 대해 고정성 정리를 증명하여, 리아풀로프 스펙트럼이 원래의 것의 스칼라 배수임을 보이는 것.

제안 방법

• 지오데식 흐름에 대한 새로운 불변 측도인 수평 측도를 구성하며, 이는 흐름에 대해 불변이면서 대칭 공간 기하학을 포착한다.
• 수평 측도의 리아풀로프 스펙트럼에서 유도된 불변인 수평 차원을 정의한다.
• 곱셈적 에르고딕 정리를 사용하여 지오데식 흐름의 주기 궤도에 리아풀로프 지수를 연결하며, 이는 등급 이so메트리에 대해 불변이다.
• 동치 위상의 다양체 위의 지오데식 흐름 간의 흐름 기반 동형사상(유사성)을 동기화와 사상의 매끄러움을 이용해 수립한다.
• 유사성에 의해 유도된 경계 사상이 CC-거리에 대해 등각적임을 증명하여, 이는 기본 겹침의 등급 이so메트리로부터 유도됨을 시사한다.
• 지오데식선을 따라 직선형 호모토피를 사용하여 기저 다양체 위의 유도된 사상이 등급 이so메트리와 호모토피임을 보이며, 고정성에 의해 등급 이so메트리임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐포된 음의 곡률을 가진 국소 대칭 공간은 그 지오데식 흐름의 주기 궤도들의 리아풀로프 스펙트럼에 의해 등급 이so메트리에 대해 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 수평 측도의 리아풀로프 스펙트럼만으로도 이러한 공간을 국소적으로 등급 이so메트리에 대해 특성화할 수 있는가?
• RQ3 아노소프 흐름의 리아풀로프 스펙트럼은 그 궤도 등가류를 어느 정도 결정하는가?
• RQ4 곡률 압축 고정성 정리들은 위상적 엔트로피나 체적을 넘어서 리아풀로프 스펙트럼의 설정으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 수평 측도의 리아풀로프 스펙트럼은 폐포된 음의 곡률을 가진 국소 대칭 공간의 등급 이so메트리 유형을 등급 이so메트리에 대해 유일하게 결정한다.
• 모든 폐포된 음의 곡률을 가진 국소 대칭 공간에 대해, 지오데식 흐름의 리아풀로프 스펙트럼은 불변 측도에 의존하지 않으며, 오직 기본 겹침의 기하학에 의해 결정된다.
• 동치 위상의 폐포된 음의 곡률을 가진 다양체 두 개가 모든 주기 궤도에서 동일한 리아풀로프 스펙트럼을 가진다면, 이들은 등급 이so메트리이다.
• 매끄러운 아노소프 흐름 $ f^t $ 가 국소 대칭 공간 $ X $ 의 지오데식 흐름 $ g^t_X $ 와 매끄럽게 궤도 등가이면, $ f^t $ 의 리아풀로프 스펙트럼은 $ g^t_X $ 의 것의 스칼라 배수임과 동치이다.
• 지오데식 흐름 간의 유사성은 CC-거리에 대해 등각적인 경계 사상을 유도하며, 따라서 기본 겹침의 등급 이so메트리로 올라간다.
• 기저 다양체 사이의 등급 이so메트리가 지오데식선을 따라 직선형 호모토피를 통해 원래의 유사성과 호모토피임을 보이며, 등급 이so메트리임을 확인한다.