[논문 리뷰] Chern-Ricci flows on noncompact complex manifolds

Man-Chun Lee, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Tosatti-Weinkove와 Lott-Zhang의 컴팩트 결과를 비콤팩트 설정으로 일반화하여 비콤팩트 복소다양체 위의 체른-리치 흐름의 존재 기준을 확립한다. 초기 메트릭이 최대 체적 성장을 가지면, 비콤팩트 다양체 위의 완전하고 비붕괴된 켈러 메트릭이 비음성이고 유계된 이측부 이탈리안 곡률을 가지며 최대 체적 성장을 갖는 메트릭으로 변형될 수 있음을 증명하며, 이러한 다양체가 $\mathbb{C}^n$과 복소해석적으로 동일시됨을 새롭게 증명한다.

ABSTRACT

In this work, we obtain existence criteria for Chern-Ricci flows on noncompact manifolds. We generalize a result by Tossati-Wienkove on Chern-Ricci flows to noncompact manifolds and at the same time generalize a result for Kahler-Ricci flows by Lott-Zhang to Chern-Ricci flows. Using the existence results, we prove that any complete noncollapsed Kahler metric with nonnegative bisectional curvature on a noncompact complex manifold can be deformed to a complete Kahler metric with nonnegative and bounded bisectional curvature which will have maximal volume growth if the initial metric has maximal volume. Combining this result with the result of Chau-Tam, we give another proof that a complete noncompact Kahler manifold with nonnegative bisectional curvature (not necessarily bounded) and maximal volume growth is biholomorphic to the complex Euclidean space. This last result has already been proved by Gang Liu recently using other methods. This last result is partial confirmation of a uniformization conjecture of Yau.

연구 동기 및 목표

• 체른-리치 흐름의 존재 기준을 컴팩트에서 비콤팩트 복소다양체로 일반화하기.
• 비콤파クト 켈러 다양체 위의 완전한 유계 곡률을 갖는 완전한 비콤파クト 켈러 다양체에 대해 Lott-Zhang의 켈러-리치 흐름 결과를 체른-리치 흐름으로 확장하기.
• 비콤파クト 다양체 위의 완전하고 비붕괴된 켈러 메트릭이 비음성 이측부 이탈리안 곡률을 갖는다면, 이는 비음성이고 유계된 이측부 이탈리안 곡률과 최대 체적 성장을 갖는 메트릭으로 변형될 수 있음을 증명하기.
• 비음성 이측부 이탈리안 곡률과 최대 체적 성장을 갖는 완전한 비콤파クト 켈러 다양체가 $\mathbb{C}^n$과 복소해석적으로 동일시됨을 새롭게 증명하여, 유에의 균일화 추측의 특수한 경우를 확인하기.

제안 방법

• 초기 메트릭의 켈러 형식 $\theta$에 대해 $\frac{\partial \theta}{\partial t} = -\text{Ric}(\theta)$의 진화 방정식을 통해 비콤파クト 헤르미트 다양체 위의 체른-리치 흐름을 정의한다.
• 일관된 등가 메트릭을 갖는 흐름이 존재하는 시간 간격의 상한인 $S_A$와, 어떤 $\beta > 0$에 대해 $\theta_0 - S\text{Ric}(\theta_0) + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u \geq \beta \theta_0$를 만족하는 부드럽고 유계인 함수 $u$가 존재하는 시간 간격의 상한인 $S_B$를 정의함으로써 일반화된 존재 기준을 제안한다.
• 초기 메트릭의 이측부 이탈리안 곡률이 $-K$ 이하로 유계이고 곡률 및 그 도함수가 균일하게 제어된다는 조건 하에 $S_A = S_B$의 동치성을 확립한다.
• 형식적 변화 기법과 곡률 추정을 사용하여 메트릭과 그 곡률의 흐름에 따른 진화를 제어한다.
• 비음성 이측부 이탈리안 곡률과 최대 체적 성장을 갖는 켈러 메트릭에 대해 존재 기준을 적용하여, 이들이 비음성이고 유계된 이측부 이탈리안 곡률을 갖는 메트릭으로 변형될 수 있음을 보여준다.
• 유도된 메트릭의 구조와 체적 성장을 활용하여 [3]의 결과를 적용하고 $\mathbb{C}^n$과의 복소해석적 동일시를 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 헤르미트 다양체 위의 체른-리치 흐름 존재 기준을 비콤파クト 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비콤파クト 다양체 위의 켈러-리치 흐름에 대한 Lott-Zhang 기준은 체른-리치 흐름으로 확장 가능한가?
• RQ3 비콤파クト 복소다양체 위의 완전하고 비붕괴된 켈러 메트릭이 비음성 이측부 이탈리안 곡률을 갖는다면, 이는 비음성이고 유계된 이측부 이탈리안 곡률과 최대 체적 성장을 갖는 메트릭으로 변형될 수 있는가?
• RQ4 비음성 이측부 이탈리안 곡률과 최대 체적 성장을 갖는 완전한 비콤파クト 켈러 다양체는 $\mathbb{C}^n$과 복소해석적으로 동일시되는가?
• RQ5 체른-리치 흐름은 유에의 균일화 추측 하에 복소해석적 동일시를 위한 새로운 증명을 제공하는가?

주요 결과

• 이 논문은 이측부 이탈리안 곡률이 $-K$ 이하로 유계여야 한다는 조건 하에, 완전한 비콤파クト 헤르미트 다양체 위의 체른-리치 흐름에 대해 $S_A = S_B$의 동치성을 확립한다.
• 비콤파クト 복소다양체 위의 완전하고 비붕괴된 켈러 메트릭이 비음성 이측부 이탈리안 곡률을 갖는다면, 체른-리치 흐름을 통해 비음성이고 유계된 이측부 이탈리안 곡률을 갖는 완전한 켈러 메트릭으로 변형될 수 있음을 증명한다.
• 초기 메트릭이 최대 체적 성장을 갖는다면, 흐름에 의해 유도된 메트릭 역시 최대 체적 성장을 갖는다.
• 저자들은 비음성 이측부 이탈리안 곡률(유계일 필요 없음)과 최대 체적 성장을 갖는 완전한 비콤파クト 켈러 다양체가 $\mathbb{C}^n$과 복소해석적으로 동일시됨을 새롭게 증명하며, 이는 유에의 균일화 추측의 부분적 경우를 확인한다.
• 결과는 리우의 이전 증명과 일치하지만, 체른-리치 흐름을 기하적 변형 도구로 사용함으로써 새로운 기하적 시각을 제공한다.
• 분석은 곡률 추정과 형식적 변화 기법에 의존하여 흐름의 제어와 장기 존재성 및 정칙성 보장을 한다.