[논문 리뷰] Existence and applications of Ricci flows via pseudolocality

Fei He|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 06.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 페렐만의 가짜국소성 정리(Perelman’s pseudolocality theorem)를 핵심 도구로 사용하여, 완비 비콤팩트 리만다양체 위에서 짧은 시간 동안 리치 흐름의 존재성을 증명한다. 조건은 스칼라 곡률이 아래에서 유계이고, 리만 곡률이 음의 제곱함수로 아래에서 유계이며, 국소적으로 거의 유클리드적인 등록부분적 불등식을 만족하는 것이다. 주요 기여는 초기 곡률이 유계가 아닐 수 있는 경우에도 리치 흐름의 존재성을 보장하는 새로운 존재 정리이며, 카이러 만다이나 및 균일화 추측에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We prove the short-time existence of Ricci flows on complete manifolds with scalar curvature bounded below uniformly, Ricci curvature bounded below by a negative quadratic function, and with almost Euclidean isoperimetric inequality holds locally. In particular, this result applies to manifolds with both Ricci curvature and injectivity radius bounded from below. We also study the short-time behaviour of these solutions which may have unbounded curvature at the initial time, and provide some applications. A key tool is Perelman's pseudolocality theorem.

연구 동기 및 목표

• 완비 비콤팩트 리만다양체에서 약한 곡률 및 등록부분적 조건을 만족하는 짧은 시간 동안의 리치 흐름 해의 존재를 확립하는 것.
• 균일 유계 곡률을 초월하는 비콤팩트 다양체에서 리치 흐름 존재 문제를 해결하는 것.
• 페렐만의 가짜국소성 정리를 초기 곡률이 무한대일 수 있는 메트릭으로까지 적용 가능하게 확장하는 것.
• 최대 체적 성장과 비음성 헬름홀로프 이분할 곡률이 이러한 흐름에서 보존됨을 증명하는 것.
• 카이러 설정에서 요우 uniformization 추측에 대한 새로운 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 초기 곡률이 무한대일 수 있는 데이터로부터 곡률의 발전을 제어하기 위해 페렐만의 가짜국소성 정리를 중심 분석 도구로 사용한다.
• 콤팩트 영역에 등각 변환을 적용하여 스칼라 곡률 하한과 등록부분적 제어를 유지하는 완비 메트릭을 생성한다.
• 다음 조건들을 도입한다: liminf_{d(p,x)→∞} Ric(x)/d(p,x)^2 ≥ −L, 스칼라 곡률 S ≥ −k, 그리고 모든 지오데식 공에서 δ1-거의 유클리드 등록부분적 불등식.
• 모든 x ∈ M 및 t ∈ (0, (ε1 r̄)^2] 에 대해 |Rm|(x,t) ≤ A/t + 1/(ε1 r̄)^2 의 곡률 유계를 확립한다. 여기서 r̄ = min{r, √(1/k), √(1/Lk)}
• √t 스케일에서의 비붕괴성(noncollapsing)을 이용하여 양의 시간 간격에서의 흐름의 콤팩트성 성질을 확보한다.
• Gromov-Hausdorff 수렴과 측도 비교 기법을 적용하여 흐름 하에서 체적 성장의 지속성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대의 초기 곡률을 가진 완비 비콤팩트 리만다양체에서 리치 흐름이 존재하는 기하적 조건은 무엇인가?
• RQ2 페렐만의 가짜국소성 정리는 초기 데이터가 불완전하거나 비콤팩트이고 곡률이 약하게 유계일 경우에도 리치 흐름을 구성하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ3 거의 유클리드적인 등록부분적 불등식과 스칼라 곡률 및 리만 곡률의 하한 유계 조건이 짧은 시간 동안 리치 흐름의 존재를 보장하는 데 충분한가?
• RQ4 이러한 조건 하에서 가짜국소성으로 구성된 리치 흐름 하에서 최대 체적 성장은 보존되는가?
• RQ5 이러한 흐름 존재 결과는 카이러 다양체에 대한 요우의 균일화 추측을 뒷받침하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 n≥3차원 완비 다양체에서 스칼라 곡률이 아래에서 유계이고, 리만 곡률이 음의 제곱함수로 아래에서 유계이며, 국소적으로 δ1-거의 유클리드 등록부분적 불등식을 만족하는 경우, 짧은 시간 동안 리치 흐름의 존재를 증명한다.
• 해의 곡률는 모든 x ∈ M 및 t ∈ (0, (ε1 r̄)^2] 에 대해 |Rm|(x,t) ≤ A/t + 1/(ε1 r̄)^2 를 만족하며, r̄는 초기 곡률과 기하학적 구조에 따라 결정된다.
• 모든 t > 0 인 충분히 작은 t에 대해 흐름은 κ(n)-비붕괴성(κ(n)-noncollapsed)을 보이며, 이는 양의 시간 간격에서의 콤팩트성과 정칙성을 보장한다.
• 초기 메트릭이 Vol_{g(0)}B_{g(0)}(x,s) ≥ vs^m 를 만족할 경우, 최대 체적 성장은 리치 흐름 하에서 보존된다.
• 비음성 헬름홀로프 이분할 곡률과 δ(n)-거의 유클리드 등록부분적 불등식을 만족하는 카이러 다양체의 경우, 흐름은 비음성 곡률과 최대 체적 성장을 보존하며, 이는 C^n으로의 동형사상(biholomorphism)을 이끈다.
• 결과는 요우의 균일화 추측에 대해 새로운 증거를 제공하며, 이러한 조건을 만족하는 다양체가 C^n으로의 동형사상이 있음을 보여준다.