[논문 리뷰] Chern-Simons Theory with Sources and Dynamical Quantum Groups I: Canonical Analysis and Algebraic Structures

E. Buffenoir, Roche, Ph.|ArXiv.org|2005. 05. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 동역적 소스와 결합된 초전도체 이론에 대한 하미르토니안 프레임워크를 개발하며, 부피 내 게이지 불변 관측가의 편미분 브라켓이 삼각함수 유형의 동적 r-행렬에 의해 지배됨을 보여준다. 일반화된 포크-로슬리 구조를 동적 양자군 대수로 도입하고, SL(2,R) 및 SL(2,C)R에 대해 명시적인 양자화를 제공함으로써, 우주상수를 가진 2+1차원 양자 중력에서 질량이 있는 스핀하는 입자들을 연구하는 데 도구를 제공한다.

ABSTRACT

We study the quantization of Chern-Simons theory with group $G$ coupled to dynamical sources. We first study the dynamics of Chern-Simons sources in the Hamiltonian framework. The gauge group of this system is reduced to the Cartan subgroup of $G.$ We show that the Dirac bracket between the basic dynamical variables can be expressed in term of dynamical $r-$matrix of rational type. We then couple minimally these sources to Chern-Simons theory with the use of a regularisation at the location of the sources. In this case, the gauge symmetries of this theory split in two classes, the bulk gauge transformation associated to the group $G$ and world lines gauge transformations associated to the Cartan subgroup of $G$. We give a complete hamiltonian analysis of this system and analyze in detail the Poisson algebras of functions invariant under the action of bulk gauge transformations. This algebra is larger than the algebra of Dirac observables because it contains in particular functions which are not invariant under reparametrization of the world line of the sources. We show that the elements of this Poisson algebra have Poisson brackets expressed in term of dynamical $r-$matrix of trigonometric type. This algebra is a dynamical generalization of Fock-Rosly structure. We analyze the quantization of these structures and describe different star structures on these algebras, with a special care to the case where $G=SL(2,{\mathbb R})$ and $G=SL(2,{\mathbb C})_{\mathbb R},$ having in mind to apply these results to the study of the quantization of massive spinning point particles coupled to gravity with a cosmological constant in 2+1 dimensions.

연구 동기 및 목표

• 초전도체 이론에 동적 점 소스를 결합한 캐논리컬 하미르토니안 프레임워크를 개발하기 위해.
• 부피 내 게이지 변환에 대해 불변인 함수들의 편미분 대수를 분석하며, 재매개변수화 불변이 아닌 관측가를 포함한다.
• 삼각함수 유형의 동적 r-행렬을 사용하여 포크-로슬리 구조를 동적 설정으로 일반화하기 위해.
• 유도된 편미분 대수를 양자화하고, 특히 SL(2,R) 및 SL(2,C)R에 대해 스타 구조를 구성하기 위해.
• 우주상수를 가진 2+1차원 양자 중력에서 질량이 있는 스핀 입자 간의 레이더 시간과 같은 물리적 관측가를 연구하기 위한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 소스를 포함한 초전도체 이론의 캐논리컬 분석을 수행하여 게이지 대칭성을 카르탕 부분군으로 축소하기 위해.
• 유리형 동적 r-행렬을 사용하여 소스 변수에 대한 디라크 브라켓을 유도하기 위해.
• 소스 위치에서의 정규화를 도입하여 소스를 초전도체 이론에 최소한으로 결합하기 위해.
• 두 종류의 게이지 대칭성을 식별: 부피 내 G-변환과 세계선 카르탕 부분군 변환.
• 삼각함수 유형의 동적 r-행렬로 정의된 브라켓을 가진 부피 내 게이지 불변 함수의 편미분 대수를 구성하기 위해.
• 스타 곱을 통한 편미분 대수의 양자화를 수행하며, SL(2,R) 및 SL(2,C)R에 대해 양자군의 구조를 사용하여 명시적인 실현을 제공하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 소스를 가진 초전도체 이론에서 게이지 불변 관측가의 편미분 브라켓은 세계선 매개변수화에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 부피 내 게이지 변환에 대해 불변인 함수들의 편미분 대수의 대수적 구조는 무엇이며, 포크-로슬리 구성은 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 동적 r-행렬 형식은 소스 존재 시 관측가의 대수적 구조를 어떻게 기술하는가?
• RQ4 SL(2,R) 및 SL(2,C)R에 대해 초전도체 이론에 소스를 포함할 경우 유도된 양자 대수의 명시적 스타 곱과 표현은 무엇인가?
• RQ5 양자 단조성 대수는 어떻게 구성되며, 그 교환관계는 무엇인가?

주요 결과

• 부피 내 게이지 불변 관측가의 편미분 브라켓은 삼각함수 유형의 동적 r-행렬에 의해 지배되며, 포크-로슬리 구조를 일반화한다.
• 관측가의 대수는 디라크 관측가의 대수보다 더 크며, 세계선 재매개변수화에 민감한 부분 관측가를 포함한다.
• SL(2,R) 및 SL(2,C)R에 대해 명시적인 스타 구조가 구성되었으며, 스타 연산은 특정 행렬 전치와 q-변형을 통해 정의된다.
• 동적 단조성 대수의 양자 대수는 R-행렬과 F-행렬을 포함하는 동적 반사 대수 관계를 만족하며, 교환관계가 포함된다.
• 홀로노미 대수의 대수적 구조는 단일 소스 대수의 연구로 축소되며, 유니터리 표현의 구성이 가능하다.
• 양자 단조성 대수는 R-행렬과 F-행렬을 포함하는 동적 양자군 관계를 만족하며, 알려진 반사 대수 관계를 일반화한다.