[논문 리뷰] Chern-Weil calculus extended to a class of infinite dimensional manifolds

Sylvie Paycha|ArXiv.org|2007. 06. 18.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 프리셰 대수의 0차 고전적 미분형식 연산자로 구성된 무한차원 다양체 위로 고전적인 체른-웨일 형식을 확장한다. 정규화된 추적(매끄러운 연산자 위에서 표준 추적의 선형 연장)을 사용하여, 그로 인해 비틀림이 발생하는 가중 체른-웨일 형식을 구성하며, 이 비틀림은 비가환 잔여물에 의해 측정되며 기하학적 설정(예: 미분형식 그라스만다이나믹스 및 루프 군)에서 보정항을 통해 재정규화가 가능하다.

ABSTRACT

We discuss possible extensions of the classical Chern-Weil formalism to an infinite dimensional setup. This is based on joint work with Steven Rosenberg, joint work with Simon Scott and joint work with Jouko Mickelsson.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 리 군, 특히 가역 0차 고전적 미분형식 연산자 군으로의 고전적 체른-웨일 준동형의 일반화를 위해.
• 무한차원 리 대수에서 잘 정의된 추적이 존재하지 않기 때문에, 매끄러운 연산자 위에서 표준 추적과 일치하는 정규화된 추적을 도입하기 위해.
• 비가환 잔여물을 사용하여 무한차원에서 체른-웨일 형식이 닫혀 있지 않은 것을 측정하기 위해.
• 특히 미분형식 그라스만다이나믹스 및 루프 군과 같은 기하학적 설정에서 비틀림이 있는 가중 체른-웨일 형식을 보정항을 통해 닫힌 형식으로 재정규화하기 위해.
• 초연결 형식을 통한 가족의 디랙 연산자에 대한 체른 특성과 가중 체른-웨일 형식 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• 짝수 차원의 스피너 다양체 위에서 가족의 디랙 연산자에 대한 비스미트 초연결을 사용하여 곡률과 가중 체른 형식을 정의한다.
• 게츠러의 스케일링을 초연결에 적용하여 열핵의 점근적 전개를 분석하고 국소 불변량을 추출한다.
• 매끄러운 연산자 위에서 표준 추적과 일치하지만, 일반적으로 교환자 위에서 추적 유사성이 보장되지 않는 0차 고전적 미분형식 연산자 대수 위에 정규화된 추적을 도입한다.
• 비가환 잔여물을 사용하여 가중 체른-웨일 형식과 닫힌 형식 사이의 오차를 측정하며, 이는 닫힘의 장애를 기록한다.
• 비가환 잔여물을 사용하여 보정항을 구성함으로써, 비닫힘 형식을 닫힌 형식으로 재정규화한다. 특히, 미분형식 그라스만다이나믹스의 맥락에서 이를 수행한다.
• 초연결의 초트레이스의 점근적 전개에서 $\tfrac{1}{(2i\tilde{\tau})^{n/2}}$-가중 $\tfrac{n}{2}$-번째 항과 관련된 정확한 공식을 유도하여, $j$-번째 체른 형식과 $\tfrac{n}{2}$-번째 성분을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 체른-웨일 형식은 어떻게 무한차원 리 군(예: 가역 0차 고전적 미분형식 연산자 군)으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 0차 미분형식 연산자의 리 대수에서는 표준 추적이 존재하지 않기 때문에, 무엇이 그것을 대체하는가?
• RQ3 곡률 형식이 표준 추적 하에서 닫혀 있지 않은 무한차원 설정에서 특성류를 어떻게 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ4 어떤 기하학적 맥락(예: 미분형식 그라스만다이나믹스 또는 루프 군)에서 비닫힘 가중 체른-웨일 형식을 닫힌 형식으로 재정규화할 수 있는가?
• RQ5 초연결을 통해 구성된 가중 체른-웨일 형식과 가족의 디랙 연산자에 대한 체른 특성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비스미트 초연결과 관련된 $j$-번째 체른 형식은 $\mathrm{str}^{{\rm I\!A}^{2}}({\rm I\!A}^{2j})_{[2j]} = \frac{(-1)^j j!}{(2i\pi)^{n/2}} \left( \int_{{\rm I\!M}/X} \hat{A}({\rm I\!M}/X) \wedge {\rm ch}({\rm I\!\!E}_{{\rm I\!M}/X}) \right)_{[2j]}$ 로 주어지며, 이는 가족의 체른 특성과 연결된다.
• 초트레이스의 열핵 $e^{-t{\rm I\!A}^2}$의 점근적 전개는 $\delta_t$-스케일링된 초연결을 포함하는 공식을 유도하며, 국소 불변량을 추출할 수 있다.
• 비가환 잔여물은 가중 체른-웨일 형식이 닫혀 있지 않은 장애를 기록하며, 이를 통해 보정항을 구성하여 형식을 닫힌 형식으로 재정규화할 수 있다.
• 루프 군과 미분형식 그라스만다이나믹스의 경우, 비가환 잔여물의 국소성 덕분에 닫힘을 복구하는 보정항을 구성할 수 있다.
• 열핵 전개의 $j$-번째 항 $k_j({\rm I\!A}^2)$의 초트레이스는 $\left( \int_{{\rm I\!M}/X} {\rm str}(k_{j+n/2}({\rm I\!A}^2)) \right)_{[2j]} = \frac{(4\pi)^{n/2}}{(2i\pi)^{n/2}} \left( \int_{{\rm I\!M}/X} \hat{A} \wedge {\rm ch} \right)_{[2j]}$ 를 통해 체른 형식의 $2j$-차수 성분과 관련된다.
• 재정규화된 체른-웨일 형식은 나이브한 가중 형식에 비가환 잔여물 보정항을 더하여 얻어지며, 이는 잘 정의된 코homology 클래스를 나타내는 닫힌 미분 형식이 된다.