[논문 리뷰] Chow rings and gonality of general abelian varieties

Claire Voisin|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유리 동치에 대한 0-사이클의 궤도를 분석하여 매우 일반적인 아벨 다양체의 커버링 고날리티에 대한 경계를 설정한다. $ g \geq 2k-1 $ 인 매우 일반적인 아벨 다양체에 대해 궤도 $ |k\{0_A\}| $ 가 가산적임을 증명함으로써, 이러한 다양체는 $ k $-고날리티 곡선을 포함하지 않으며, 이는 고날리티가 차원에 따라 증가함을 확인한다. 이는 고날리티가 $ \log g $ 정도로 증가한다는 추측을 지지하며, 차우 링에 대한 새로운 결과를 제공한다. 즉, $ g \geq 2k-1 $ 일 때 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ 이면 $ D^k $ 는 토크션적이지 않다.

ABSTRACT

We study the (covering) gonality of abelian varieties and their orbits of zero-cycles for rational equivalence. We show that any orbit for rational equivalence of zero-cycles of degree $k$ has dimension at most $k-1$. Building on the work of Pirola, we show that very general abelian varieties of dimension $g$ have covering gonality $k\geq f(g)$ where $f(g)$ grows like ${ m log}\,g$. This answers a question asked by Bastianelli, De Poi, Ein, Lazarsfeld and B. Ullery. We also obtain results on the Chow ring of very general abelian varieties, eg. if $g\geq 2k-1$, for any divisor $D\in { m Pic}^0(A)$, $D^k$ is not a torsion cycle.

연구 동기 및 목표

• 매우 일반적인 아벨 다양체의 커버링 고날리티를 결정하고, 이것이 차원에 따라 증가함을 증명한다.
• 대칭곱 $ A^{(k)} $ 에서 유리 동치에 대한 차수 $ k $ 인 0-사이클의 궤도를 분석하며, 특히 $ |k\{0_A\}| $ 에 초점을 맞춘다.
• $ g \geq 2k-1 $ 일 때 궤도 $ |k\{0_A\}| $ 가 가산적임을 증명하여, 이러한 다양체에 $ k $-고날리티 곡선이 존재하지 않음을 시사한다.
• 매우 일반적인 아벨 다양체의 차우 링의 구조를 조사하며, 특히 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ 에 대해 $ D^k $ 가 토크션적이지 않음을 분석한다.
• 추측 0.2에 대한 증거를 제공하고, 이 추측이 $ g \geq 2k-1 $ 일 때 고날리티가 최소 $ k+1 $ 이상임을 증명하기 위한 전략을 제시한다.

제안 방법

• 0-사이클의 유리 동치 이론을 사용하여 $ A^{(k)} $ 내의 궤도를 연구하며, 이러한 궤도의 차원이 최대 $ k-1 $ 이라는 것을 보인다.
• 일반화된 쿠머 다양체 $ K_{k-1}(A) $ 를 활용한 대수기하학적 기법을 적용하여, 저차원 케이스에서 궤도 차원을 제한한다.
• 변형 이론과 합맵 $ \sigma: A^{(k)} \to A $ 을 사용하여 정규화된 궤도와 그 접공간을 분석한다.
• 피롤라의 결과를 활용하여, 차원 $ \geq 3 $ 인 일반 아벨 다양체에는 하이퍼에일리프틱 곡선이 존재하지 않음을 보이며, 이를 고고날리티가 더 높은 경우로 일반화한다.
• 차수 $ k $ 의 정규화된 궤도의 양의 차원을 가진 집합 $ Z_A \subset A $ 를 분석하고, 그 차원을 연구하여 추측 5.2를 뒷받对方한다.
• 유리 동치에 의한 궤도가 대수적 부분다양체임을 이용하고, $ K_{k-1}(A) $ 에서의 헬름홀로닉 2-형식을 적용하여 등방성 부분다양체를 제약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매우 일반적인 아벨 다양체의 차원 $ g $ 이 $ g \to \infty $ 일 때 커버링 고날리티가 무한히 증가하는가?
• RQ2 $ g \geq 2k-1 $ 일 때 궤도 $ |k\{0_A\}| $ 는 가산적인가? 이는 다양체에 $ k $-고날리티 곡선이 존재하지 않음을 의미하는가?
• RQ3 차수 $ k $ 의 양의 차원을 가진 정규화된 궤도의 집합 $ Z_A \subset A $ 는 최대 차원 $ k-1 $ 이하인가?
• RQ4 정리 0.1의 경계 $ g \geq 2^{k-2}(2k-1) + (2^{k-2}-1)(k-2) $ 는 $ g \geq 2k-1 $ 으로 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 $ g \geq 2k-1 $ 일 때, $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ 에 대해 $ \mathrm{CH}^g(A) $ 내에서 $ D^k $ 는 비토크션인가?

주요 결과

• 모든 아벨 다양체 $ A $ 에 대해, 유리 동치에 대한 차수 $ k $ 인 0-사이클의 궤도 $ |Z| \subset A^{(k)} $ 는 차원이 최대 $ k-1 $ 이다.
• $ g \geq 2^{k-2}(2k-1) + (2^{k-2}-1)(k-2) $ 인 매우 일반적인 아벨 다양체 $ A $ 는 차수 $ \leq k $ 인 양의 차원 궤도를 가지지 않으며, 이는 커버링 고날리티가 최소 $ k+1 $ 이상임을 의미한다.
• $ g \geq 2k-1 $ 일 때 궤도 $ |k\{0_A\}| $ 는 가산적이다. 이는 $ A $ 가 $ k $-고날리티 곡선을 포함하지 않음을 의미한다.
• $ g \geq 2k-1 $ 일 때, 임의의 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ 에 대해 $ \mathrm{CH}^g(A) $ 내에서 $ D^k $ 는 토크션적이지 않다. 이는 차우 링 내 비자명성을 보여준다.
• 궤도 차원 경계 $ \leq k-1 $ 는 최적이다. 타원곡선과 $ E \times B $ 의 곱에서 등호가 성립하기 때문이다.
• 차수 $ k $ 의 정규화된 궤도의 양의 차원 집합 $ Z_A $ 는 최대 차원 $ \leq k-1 $ 이라고 예상되며, $ g \geq 2k-1 $ 일 때 공집합이면 추측 0.2가 성립한다.