[논문 리뷰] Circuit for Shor's algorithm using 2n+3 qubits

Stéphane Beauregard|arXiv (Cornell University)|2002. 05. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 공간 덧셈기, 모듈로 지수화의 고전적 제어, 순차적 양자 푸리에 변환을 활용하여 이전 설계보다 적은 2n+3 큐비트만을 사용하는 쇼어 인수분해 알고리즘을 위한 양자 회로를 제안한다. 이 회로는 O(n³lg n) 게이트와 O(n³) 깊이를 갖추어 다항식 시간 인수분해를 달성하며, 특수한 수의 성질이나 무한한 양자 게이트에 의존하지 않고 큐비트 요구량을 실용적으로 줄였다.

ABSTRACT

We try to minimize the number of qubits needed to factor an integer of n bits using Shor's algorithm on a quantum computer. We introduce a circuit which uses 2n+3 qubits and O(n^3 lg(n)) elementary quantum gates in a depth of O(n^3) to implement the factorization algorithm. The circuit is computable in polynomial time on a classical computer and is completely general as it does not rely on any property of the number to be factored. Keywords: Factorization, quantum circuits, modular arithmetics

연구 동기 및 목표

• 양자 컴퓨터에서 쇼어 인수분해 알고리즘을 구현하기 위해 필요한 큐비트 수를 최소화하는 것.
• 비제한적인 토플리 게이트를 피하고 단순한 양자 게이트만을 사용하는 회로를 설계하는 것.
• 수의 특정 성질에 의존하지 않고도 다항식 실행 시간과 일반 적용 가능성을 유지하는 것.
• 제한된 큐비트를 가진 근접한 양자 하드웨어에서의 실용적 구현을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 양자 푸리에 변환 기저에서 덧셈을 수행하는 푸리에 공간 덧셈기(ϕADD)를 사용하여, 덧수에 대한 고전적 제어가 가능해진다.
• 모듈로 지수화에서 기저 'a'의 고전적 값을 사전 계산하여 제어된 위상 이동으로 적용함으로써 전체 양자 제어의 필요성을 줄였다.
• 보조 큐비트를 통해 덧셈 중 오버플로우를 방지하고, N을 조건부로 빼는 방식으로 모듈로 덧셈을 구현하며, 이는 역행 ϕADD 게이트를 사용한다.
• 큐비트 오버헤드를 줄이기 위해 양자 푸리에 변환을 동시에가 아니라 순차적으로 적용한다.
• 순서 찾기 회로는 제어된 ϕADD 게이트를 조합하여 모듈로 지수화를 구현하며, 최종 측정 결과로 N 모듈로 순서 r을 얻는다.
• 인수분해에 필요한 충분한 정확도를 유지하면서 게이트 수를 줄이기 위해 k_max = O(lg(n/ε))인 근사 QFT를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쇼어 알고리즘은 다항식 실행 시간과 일반 적용 가능성을 유지하면서 2n+3 큐비트 이하로도 실행 가능할 수 있는가?
• RQ2 단순한 양자 게이트만을 사용하여 최소한의 큐비트를 사용해 모듈로 지수화를 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ3 인수분해를 위한 순서 찾기 회로에서 큐비트 수와 회로 깊이 사이의 상충 관계는 어떠한가?
• RQ4 고전적 사전 계산과 푸리에 공간 산술을 통해 모듈로 지수화에서 전체 양자 제어의 필요성을 줄일 수 있는가?
• RQ5 비제한적인 토플리 게이트나 특수한 수의 성질에 의존하지 않고 큐비트 수를 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 회로는 정확히 2n+3 큐비트를 사용하며, 이는 이전 설계들인 5n+1 또는 7n+1 큐비트 회로보다 감소된 수준이다.
• 이 회로는 O(n³lg n)의 단순한 양자 게이트와 O(n³)의 회로 깊이를 확보하여 다항식 시간 실행을 보장한다.
• 고전적 제어와 푸리에 공간 덧셈의 사용으로 모듈로 지수화에서 기저 'a'에 대한 전체 양자 제어를 제거할 수 있었다.
• 이 회로는 인수분해 대상 수 N의 특정 성질에 의존하지 않아 모든 합성 정수에 일반적으로 적용 가능하다.
• k_max = O(lg(n/ε))인 근사 QFT를 사용함으로써 임의의 다항식으로 작은 오차 ε에 대해 높은 정확도를 확보하면서 게이트 수를 최소화할 수 있었다.
• N=15의 경우 11 큐비트가 필요하지만, a의 순서가 작아서 많은 연산이 항등 연산이 되므로 특정 경우에 더 큰 최적화가 가능할 수 있다.