[논문 리뷰] Fast parallel circuits for the quantum Fourier transform

Richard Cleve, John Watrous|ArXiv.org|2000. 06. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 26인용 수 81

한 줄 요약

이 논문은 오차 ε에 대해 근사화할 때 회로 깊이를 O(n)에서 O(log n + log log(1/ε))로 줄이는 새로운 양자 회로 설계를 제안한다. 이는 양자 푸리에 변환(QFT)의 로그 깊이를 달성한다. 방법은 혼합 기수 분해와 작은-QFT 하위회로의 병렬화를 사용하며, 이로 인해 쇼어의 소인수분해 알고리즘이 다항 크기의 양자 회로로 O(log n) 깊이로 실행될 수 있게 되어, 소인수분해가 ZPP^BQNC 복잡도 계열에 속하게 된다.

ABSTRACT

We give new bounds on the circuit complexity of the quantum Fourier transform (QFT). We give an upper bound of O(log n + log log (1/epsilon)) on the circuit depth for computing an approximation of the QFT with respect to the modulus 2^n with error bounded by epsilon. Thus, even for exponentially small error, our circuits have depth O(log n). The best previous depth bound was O(n), even for approximations with constant error. Moreover, our circuits have size O(n log (n/epsilon)). We also give an upper bound of O(n (log n)^2 log log n) on the circuit size of the exact QFT modulo 2^n, for which the best previous bound was O(n^2). As an application of the above depth bound, we show that Shor's factoring algorithm may be based on quantum circuits with depth only O(log n) and polynomial-size, in combination with classical polynomial-time pre- and post-processing. In the language of computational complexity, this implies that factoring is in the complexity class ZPP^BQNC, where BQNC is the class of problems computable with bounded-error probability by quantum circuits with poly-logarithmic depth and polynomial size. Finally, we prove an Omega(log n) lower bound on the depth complexity of approximations of the QFT with constant error. This implies that the above upper bound is asymptotically optimal (for a reasonable range of values of epsilon).

연구 동기 및 목표

• 양자 푸리에 변환(QFT)의 회로 깊이를 줄여 효율적인 양자 알고리즘을 구현하기 위해.
• 오차 ε가 제한된 근사화를 갖는 병렬 양자 회로를 개발하기 위해.
• 쇼어의 소인수분해 알고리즘이 다항 로그 깊이의 양자 회로만을 사용하여 실행될 수 있음을 보여주기 위해.
• QFT 근사화의 깊이 복잡도에 대한 날카로운 경계를 설정하기 위해.
• 정확한 및 근사적인 QFT 구현이 낮은 깊이의 양자 회로에서 실현 가능한지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 혼합 기수 접근을 사용하여 2^n 모듈로 QFT를 더 작은 QFT들로 분해하며, 중국의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem)를 활용한다.
• 각 작은 QFT 모듈로 m_j는 키타에프의 근사화 방법 또는 재귀적 분해를 사용하여 계산되며, 이는 병렬 실행을 가능하게 한다.
• 전체 회로는 계산 기저 상태를 모듈로 감소 및 재결합하는 변환 C를 사용하며, 이는 병렬화를 가능하게 한다.
• 핵심 식 F_m = C†(F_{m_1} ⊗ ... ⊗ F_{m_k})AC는 전체 QFT와 구성된 하위회로 사이의 유니타리 동치를 보장한다.
• 각 작은 QFT와 변환 연산자 C, A를 병렬화하여 회로 깊이를 로그 깊이로 최소화한다.
• 각 하위-QFT에서의 근사 정확도를 제어함으로써 오차 경계가 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 푸리에 변환은 다항 로그 깊이의 양자 회로로 구현될 수 있는가?
• RQ2 오차 ε로 QFT를 근사화하기 위해 필요한 최소 깊이는 얼마인가?
• RQ3 쇼어의 소인수분해 알고리즘은 오직 로그 깊이의 양자 회로만을 사용하여 실행될 수 있는가?
• RQ4 QFT 근사화에 대해 O(log n) 깊이 경계가 점 渐진적으로 최적인가?
• RQ5 정확한 QFT는 선형 깊이를 피할 수 없는가, 아니면 하위선형 깊이에서 실현 가능한가?

주요 결과

• 논문은 2^n 모듈로 QFT를 오차 ε로 근사화할 때 깊이 상한선으로 O(log n + log log(1/ε))를 확립한다. 이는 지수적으로 작은 ε에 대해서도 성립한다.
• 다항 오차 ε = 1/poly(n)에 대해서도 깊이는 O(log n로 유지되며, 이는 이전의 O(n) 경계에 비해 크게 향상된다.
• 근사 QFT 회로의 크기는 O(n log(n/ε))이며, 이는 효율적이고 확장 가능한 것이다.
• 정확한 QFT 모듈로 2^n에 대해 O(n (log n)^2 log log n)의 크기 상한선이 제시되었으며, 이는 이전의 O(n^2) 경계를 향상시킨다.
• 논문은 일정 오차 QFT 근사화의 깊이 복잡도에 대해 Ω(log n)의 하한선을 증명하여, O(log n) 깊이 경계가 점 渐진적으로 최적임을 보여준다.
• 쇼어의 소인수분해 알고리즘은 깊이 O(log n) 및 다항 크기의 양자 회로로 실행될 수 있으며, 이는 소인수분해가 ZPP^BQNC 복잡도 계열에 속하게 한다.