[논문 리뷰] Circuit Treewidth, Sentential Decision, and Query Compilation

Simone Bova, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 17.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부울 함수에서 유한한 회로 트리폭이 SDD(Sentential Decision Diagram) 폭이 유한함과 동치임을 입증하며, 기존의 유한한 회로 경로폭과 OBDD 폭 사이의 등가성과 유사한 날카로운 특성화를 제공한다. 주요 기여는 트리폭이 유한한 쿼리에 대해 다항 크기의 SDD 컴파일을 가능하게 하여, 다항 시간 내에 확률적 쿼리 평가를 수행할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

The evaluation of a query over a probabilistic database boils down to computing the probability of a suitable Boolean function, the lineage of the query over the database. The method of query compilation approaches the task in two stages: first, the query lineage is implemented (compiled) in a circuit form where probability computation is tractable; and second, the desired probability is computed over the compiled circuit. A basic theoretical quest in query compilation is that of identifying pertinent classes of queries whose lineages admit compact representations over increasingly succinct, tractable circuit classes. Fostering previous work by Jha and Suciu (2012) and Petke and Razgon (2013), we focus on queries whose lineages admit circuit implementations with small treewidth, and investigate their compilability within tame classes of decision diagrams. In perfect analogy with the characterization of bounded circuit pathwidth by bounded OBDD width, we show that a class of Boolean functions has bounded circuit treewidth if and only if it has bounded SDD width. Sentential decision diagrams (SDDs) are central in knowledge compilation, being essentially as tractable as OBDDs but exponentially more succinct. By incorporating constant width SDDs and polynomial size SDDs, we refine the panorama of query compilation for unions of conjunctive queries with and without inequalities.

연구 동기 및 목표

• 불등식을 포함한 조건부 합성 쿼리(UCQ)에 대해, 유한한 회로 트리폭이 OBDD 폭을 유한하게 만든다는 것을 증명할 수 있는지에 대한 열린 문제를 해결한다.
• OBDD만큼 다항 시간으로 처리 가능하지만 지수적으로 더 작고, 쿼리 라인티그레인 컴파일에 적합한 지식 컴파일 타겟 클래스를 규명한다.
• 기존의 OBDD 폭에 의한 경로폭 특성화를 SDD를 기반으로 한 표준형으로 확장하여 트리폭으로 일반화한다.
• 불등식이 있는/없는 UCQ에 대해 상수 폭 및 다항 크기의 SDD를 도입하여 쿼리 컴파일의 지형도를 정교화한다.
• 특히 확률적 데이터베이스 쿼리 평가의 맥락에서 SDD가 다른 구조적 결정론적 형태와 OBDD에 비해 얼마나 더 압축적인지 비교한다.

제안 방법

• 부울 함수의 구조적 성질과 그 회로 표현을 이용하여 회로 트리폭과 SDD 폭 사이의 새로운 특성화를 도입한다.
• 정리 1에 기반한 사각형 커버 추론을 사용하여, 구조적 NNF에서 유도된 SDD 구성 요소의 크기를 근사한다. 이때 볼록 함수에 대한 젠센 부등식을 활용한다.
• 증명에서 두 가지 상호보완적인 경우를 분석한다: 변수의 부분 집합이 SDD 구조에서 완전히 커버되는 경우와, 부분 커버가 지수적 하한을 초래하는 경우.
• 변수 쌍에 대한 분할 기법을 사용하여 SDD 구성 요소가 분할 크기에 따라 지수적으로 증가해야 하는 영역 $ R_p $ 를 정의함으로써 구성 요소 크기의 하한을 도출한다.
• 기존의 결정론적 분해 가능한 회로와 구조적 NNF에 관한 결과를 적용하여, SDD가 원래 회로의 크기와 선형 비율 이내로 이러한 형태를 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다.
• SDD가 결정론적이고 분해 가능하며 구조적임을 활용하여, 확률 계산을 효율적으로 수행하고, 트리폭이 유한한 라인티그레인에 대해 다항 크기의 컴파일을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수적 분리 가능성에 대한 최근의 추측에 따르면, Jha와 Suciu가 제기한 바와 같이, 불등식을 포함한 UCQ에 대해 유한한 회로 트리폭이 OBDD 폭을 유한하게 만드는가?
• RQ2 SDD가 경로폭과 OBDD 폭의 등가성과 유사하게, 트리폭이 유한한 부울 함수에 대해 다항 크기의 컴파일을 가능하게 하는가?
• RQ3 쿼리 라인티그레인 컴파일 맥락에서 SDD가 OBDD 및 다른 구조적 결정론적 형태에 비해 상대적으로 얼마나 더 압축적인가?
• RQ4 최근의 추측에 따르면, 유한한 포화도를 가진 OR 게이트를 갖는 SDD가 OBDD에 의해 준수 다항 시간 내에 시뮬레이션 가능한가?
• RQ5 요약된 구조적 결정론적 형태인 인수 분해 임파리캔트 기반의 데이터 구조와 SDD 및 인수 분해 데이터베이스의 데이터 구조를 의미 있게 비교할 수 있는가?

주요 결과

• 부울 함수의 클래스가 유한한 회로 트리폭을 갖는다 하는 것과 유한한 SDD 폭을 갖는다는 것이 정확히 동치임을 입증하며, 경로폭–OBDD 폭 특성화와 유사한 날카로운 등가성을 확립한다.
• 회로 트리폭 $ k $ 를 갖는 임의의 부울 함수에 대해, 크기가 $ O(f(k)n) $ 인 SDD 표현이 존재한다. 여기서 $ f(k) $ 는 급격히 증가하는 함수이며, 경로폭에 대해 OBDD의 효율성과 일치한다.
• 논문은 SDD가 트리폭이 유한한 라인티그레인에 대해 다항 크기의 컴파일을 달성할 수 있음을 증명하며, OBDD에서 관찰되는 트리폭에 대한 이중 지수적 의존성을 피한다.
• 특정 $ k $-분할된 구조에서 적어도 하나의 SDD 구성 요소 크기에 대해 $ 2^{ heta(n/k)} $ 의 하한이 확립되며, 커버리지가 완전하지 않을 경우 본질적인 지수적 증가가 발생함을 보여준다.
• 이전에 SDD와 OBDD 사이의 지수적 분리 가능성 후보로 여겨졌던 간접 액세스 스토리지(ISA) 함수는 작은 SDD 크기를 갖는 것으로 밝혀져, 압축성 비교에서 잠재적인 격차를 닫는다.
• 불등식이 있는/없는 UCQ에 대해 상수 폭 SDD와 다항 크기 SDD를 쿼리 컴파일 프레임워크에 통합함으로써, 확률적 쿼리 평가의 기존 다항 시간 가능 사례를 더욱 정교화한다.