[논문 리뷰] Circuits, Bond Graphs, and Signal-Flow Diagrams: A Categorical Perspective

Brandon Coya|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전기 회로, 신호 흐름도, 볼드 그래프를 구성적 구조로 통합하고 형식화하기 위해 프롭(Props)를 사용하는 범주론적 프레임워크를 수립한다. 각 구조를 병렬 및 직렬 연결을 나타내는 합성과 텐서 곱으로 구성하는 프롭 내의 사상으로 모델링함으로써, 내부 구조를 추상화하는 '블랙박싱'이 프롭 간의 사상으로 이르게 되며, 특히 회로 및 볼드 그래프의 행동에 대해 핵심 결과로 코어레이션과 라그랑주 관계를 제시한다.

ABSTRACT

We use the framework of "props" to study electrical circuits, signal-flow diagrams, and bond graphs. A prop is a strict symmetric monoidal category where the objects are natural numbers, with the tensor product of objects given by addition. In this approach, electrical circuits make up the morphisms in a prop, as do signal-flow diagrams, and bond graphs. A network, such as an electrical circuit, with $m$ inputs and $n$ outputs is a morphism from $m$ to $n$, while putting networks together in series is composition, and setting them side by side is tensoring. Here we work out the details of this approach for various kinds of electrical circuits, then signal-flow diagrams, and then bond graphs. Each kind of network corresponds to a mathematically natural prop. We also describe the "behavior" of electrical circuits, bond graphs, and signal-flow diagrams using morphisms between props. To assign a behavior to a network we "black box" the network, which forgets its inner workings and records only the relation it imposes between inputs and outputs. The process of black-boxing a network then corresponds to a morphism between props. Interestingly, there are two different behaviors for any bond graph, related by a natural transformation. To achieve all of this we first prove some foundational results about props. These results let us describe any prop in terms of generators and equations, and also define morphisms of props by naming where the generators go and checking that relevant equations hold. Technically, the key tools are the Rosebrugh--Sabadini--Walters result relating circuits to special commutative Frobenius monoids, the monadic adjunction between props and signatures, and a result saying which symmetric monoidal categories are equivalent to props.

연구 동기 및 목표

• 전기 회로, 신호 흐름도, 볼드 그래프를 동일한 범주론적 프레임워크 아래에서 형식화된 통합적 접근을 제공한다.
• 프롭의 수학적 구조를 이용해 네트워크 시스템의 구성성에 대한 형식화를 수행한다.
• 블랙박싱 과정을 프롭 간의 사상으로 정의하고, 입력-출력 행동을 포괄하는 분석을 수행한다.
• 볼드 그래프가 두 개의 서로 다른데도 관련된 행동을 갖는다는 것을 입증하고, 자연 변환을 통해 그 관계를 규명한다.
• 대칭 모나이드 범주에서 생성자, 관계, 보편 성질을 이용한 네트워크 시스템에 대한 추론 기반을 제공한다.

제안 방법

• 자연수를 객체로, 덧셈을 텐서 곱으로 사용하는 '프롭'—엄격한 대칭 모나이드 범주—의 수학적 프레임워크를 사용한다.
• 전기 회로, 신호 흐름도, 볼드 그래프를 각기 다른 프롭 내의 사상으로 모델링하며, 합성은 직렬 연결, 텐서 곱은 병렬 연결을 나타낸다.
• 로즈브루흐–사바딘–월터스 결과를 적용하여 코어레이션을 통해 회로를 특수한 가환 프로푸스 모노이드와 연결한다.
• 서명과 프롭 사이의 단사적 수반 관계를 사용하여 각 네트워크 유형을 생성자와 방정식으로 표현한다.
• 코어레이션 개념을 사용하여 회로 및 볼드 그래프의 상호연결을 모델링하고, 구조와 행동 사이의 이중성을 가능하게 한다.
• 블랙박싱을 네트워크의 프롭에서 행동의 프롭으로 가는 함자로 정의하며, 선형 관계 또는 라그랑주 관계를 사용해 입력-출력 역학을 포착한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전기 회로, 신호 흐름도, 볼드 그래프는 어떻게 대칭 모나이드 범주 내의 사상으로 균일하게 모델링될 수 있는가?
• RQ2 입력과 출력을 갖는 네트워크의 구성적 행동을 포괄하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 내부 세부 사항을 추상화하는 블랙박싱 과정은 프롭 간의 사상으로 어떻게 대응되는가?
• RQ4 왜 볼드 그래프는 두 개의 서로 다른데도 관련된 행동을 갖는가? 그리고 자연 변환을 통해 어떻게 연결되는가?
• RQ5 이러한 네트워크 이론적 프롭을 체계적으로 구성하는 데 필요한 보편 성질 또는 표현 정리(표현 정리)는 무엇인가?

주요 결과

• 저항기, 인덕터, 커패시터로 이루어진 전기 회로는 입력-출력 변수 간의 선형 관계로 행동이 기술되는 프롭 내의 사상으로 모델링될 수 있다.
• L-회로의 프롭은 저항기, 인덕터, 커패시터, 도체선의 생성자를 사용하여 표현되며, 키르히호프 법칙과 옴의 법칙을 Encoding하는 방정식을 포함한다.
• 완전한 도전성 도선으로만 이루어진 회로는 코어레이션으로 표현되며, 그 행동은 프롭 FinCorel에 의해 기술되며, 이는 특수한 가환 프로푸스 모노이드의 프롭과 동치이다.
• 신호 흐름도는 행동이 선형 관계로 기술되는 프롭 내의 사상으로 형식화되며, 블랙박싱은 선형 관계의 프롭으로 가는 대칭 모나이드 함자로 이어진다.
• 볼드 그래프는 코어레이션으로도, 라그랑주 관계로도 모델링되며, 두 행동은 자연 변환을 통해 연결되어 물리적 해석에서의 이중성을 보여준다.
• 논문은 타입이 부여된 로어버리 이론이 색깔이 있는 오르가노이드로부터 유도될 경우(프롭의 경우와 동일하게), 생성자를 단사적 포함을 통해 추가하면 단사성이 유지됨을 증명하며, 이는 구조적 확장이 대수적 구조를 붕괴시키지 않음을 보장한다.