[논문 리뷰] Classes of operators determined by ordinal indices

Kevin Beanland, Ryan M. Causey외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 22.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 순서수 인덱스를 가진 연산자 클래스를 도입하고 분석하며, 비보존성의 보건 지수를 사용하여 $\beta_p^\xi$ 및 $c_0^\xi$ 스며들어가는 모델의 비보존성을 정량화한다. 일부 클래스—특히 $\ell_p$ 및 $c_0$에 대한 $\omega^\zeta$-지수로 정의된 것들—이 닫힌 연산자 아이디얼을 이룬다는 것을 증명하고, 약한 컴actness 지수는 $\Pi_1^1$ 랭크임을 보여, 기술적 집합 이론적 분석을 통한 연산자 클래스 분석이 가능함을 밝힌다.

ABSTRACT

We introduce and study the Bourgain index of an operator between two Banach spaces. In particular, we study the Bourgain $\ell_p$ and $c_0$ indices of an operator. Several estimates for finite and infinite direct sums are established. We define classes determined by these indices and show that some of these classes form operator ideals. We characterize the ordinals which occur as the index of an operator and establish exactly when the defined classes are closed. We study associated indices for non-preservation of $\ell_p^ξ$ and $c_0^ξ$ spreading models and indices characterizing weak compactness of operators between separable Banach spaces. We also show that some of these classes are operator ideals and discuss closedness and distinctness of these classes.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간 간의 연산자에 대해 순서수 지수—특히 보건 지수—를 정의하고 연구함으로써, 바나흐 공간에서의 개념을 연산자로 일반화한다.
• 연산자의 지수로 나타나는 순서수를 특성화하고, 관련 클래스가 닫혀 있는 경우를 규명한다.
• $\ell_p^\xi$ 및 $c_0^\xi$ 스며들어가는 모델의 비보존성으로 정의된 클래스가 연산자 아이디얼을 이루는지 조사한다.
• 연산자의 약한 컴팩트성 지수와 $\mathcal{S}_\xi$-약한 컴팩트 연산자 클래스 간의 관계를 연결하고, 그 아이디얼 구조를 규명한다.
• 기술적 집합 이론을 적용하여, 특히 표준 보렐 공간에서의 $\Pi_1^1$ 랭크를 통해 연산자 클래스의 복잡성을 분석한다.

제안 방법

• 트리와 슈라이어 가족을 사용하여 기본 수열 $(e_i)$의 비보존성 지수를 포함한 연산자에 대한 순서수 지수를 정의한다.
• 색칠 및 최소 트리에 관한 조합론적 보조정리를 적용하여 합과 직합에 대한 지수 행동을 분석한다.
• $\mathfrak{NP}_p^\zeta$ 및 $\mathfrak{SM}_p^\xi$ 클래스를 각각 $\ell_p^\xi$ 또는 $c_0^\xi$ 스며들어가는 모델을 비보존하는 연산자 집합으로 정의한다.
• $\mathfrak{NP}_1^{\omega^\zeta}$ 및 $\mathfrak{NP}_\infty^\zeta$ 가 무한 순서수 $\zeta$에 대해 닫힌 연산자 아이디얼임을 증명한다.
• 표준 공간 $\mathfrak{L}$ 상에서 $\Pi_1^1$ 랭크 구조를 사용하여 약한 컴팩트성 지수 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ 를 분석하고, 이 지수가 $\mathfrak{WC} \cap \mathfrak{L}$ 상에서 $\Pi_1^1$ 랭크임을 보여준다.
• 연산자의 슬렌크 지수를 $\mathfrak{A} \cap \mathfrak{L}_1$ 공간—노름 $\leq 1$ 인 아스플룬드 연산자 공간—상에서 $\Pi_1^1$ 랭크로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비보존성 지수가 $\leq \zeta$ 인 연산자 클래스가 연산자 아이디얼이 되는 순서수 $\zeta$는 무엇인가?
• RQ2 $\ell_p^\xi$ 스며들어가는 모델을 어느 것도 비보존하는 연산자 클래스가 닫힌 연산자 아이디얼이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 약한 컴팩트성 지수 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ 는 $\mathcal{S}_\xi$-약한 컴팩트 연산자 클래스와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 약한 컴팩트성 지수는 표준 보렐 공간의 연산자 상에서 $\Pi_1^1$ 랭크로 표현될 수 있는가?
• RQ5 노름 $\leq 1$ 인 아스플룬드 연산자 클래스는 $\mathfrak{L}_1$ 상의 $\Pi_1^1$ 부분집합인가? 그리고 그 슬렌크 지수는 $\Pi_1^1$ 랭크인가?

주요 결과

• $\mathfrak{NP}_1^{\omega^\zeta}$ 는 각 가산 순서수 $\zeta$에 대해 닫힌 연산자 아이디얼이다.
• $\mathfrak{NP}_\infty^\zeta$ 는 각 무한 순서수 $\zeta$에 대해 닫힌 연산자 아이디얼이다.
• $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해, $\bigcup_{\xi < \omega^\zeta} \mathfrak{SM}_p^\xi$ 는 아이디얼을 이룬다. 여기서 $\mathfrak{SM}_p^\xi$ 는 어떤 $\ell_p^\xi$ 스며들어가는 모델도 비보존하는 연산자로 구성된다.
• $\mathfrak{SM}_1^\xi$ 는 모든 가산 순서수 $\xi$에 대해 닫힌 연산자 아이디얼이며, $\mathfrak{SM}_\infty^\xi$ 역시 닫힌 연산자 아이디얼이다.
• 연산자 $A$ 가 $\mathcal{S}_\xi$-약하게 컴팩트임은 $A$ 가 약하게 컴팩트이고 $A \in \mathfrak{SM}_1^\xi$ 인 것과 동치이므로, $\mathcal{S}_\xi$-약하게 컴팩트 연산자들은 닫힌 아이디얼을 이룬다.
• 약한 컴팩트성 지수 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ 는 $\mathfrak{WC} \cap \mathfrak{L}$ 상에서 $\Pi_1^1$ 랭크이며, $\textbf{WC}(A,X,Y) \leq \xi$ 및 $\textbf{WC}(B,X,Y) \leq \zeta$ 를 만족할 때마다 $\textbf{WC}(A+B,X,Y) \leq \varphi_{\text{WC}}(\xi,\zeta)$ 를 만족하는 함수 $\varphi_{\text{WC}}$ 가 존재한다.