[논문 리뷰] Classical and quantum computation with small space bounds (PhD thesis)

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 54인용 수 6

한 줄 요약

이 박사학위논문은 일반 양자 연산자(푸시다운, 카운터, 유한오ート마타 유형 포함)를 지원하는 새로운 양자 Turning 기계 모델을 제안하고, 소규모 공간 제약 조건 하에서 고전적 및 양자 기계의 계산 능력을 철저히 분석한다. 주요 결과로는, 특히 무한정 오차 및 유계 오차 설정에서, 하향대수적 공간과 상수 공간 범위에서 양자 기계가 고전적 기계보다 엄격히 더 많은 언어를 인식할 수 있음을 보여주며, 새로운 모델이 고전적 대안보다 더 우수한 압축성과 표현력을 보임을 입증한다.

ABSTRACT

In this thesis, we introduce a new quantum Turing machine (QTM) model that supports general quantum operators, together with its pushdown, counter, and finite automaton variants, and examine the computational power of classical and quantum machines using small space bounds in many different cases. The main contributions are summarized below. Firstly, we consider QTMs in the unbounded error setting: (i) in some cases of sublogarithmic space bounds, the class of languages recognized by QTMs is shown to be strictly larger than that of classical ones; (ii) in constant space bounds, the same result can still be obtained for restricted QTMs; (iii) the complete characterization of the class of languages recognized by realtime constant space nondeterministic QTMs is given. Secondly, we consider constant space-bounded QTMs in the bounded error setting: (i) we introduce a new type of quantum and probabilistic finite automata (QFAs and PFAs, respectively,) with a special two-way input head which is not allowed to be stationary or move to the left but has the capability to reset itself to its starting position; (ii) the computational power of this type of quantum machine is shown to be superior to that of the probabilistic machine; (iii) based on these models, two-way PFAs and two-way classical-head QFAs are shown to be more succinct than two-way nondeterministic finite automata and their one-way variants; (iv) we also introduce PFAs and QFAs with postselection with their bounded error language classes, and give many characterizations of them. Thirdly, the computational power of realtime QFAs augmented with a write-only memory is investigated by showing many simulation results for different kinds of counter automata. Finally, some lower bounds of realtime classical Turing machines in order to recognize a nonregular language are shown to be tight.

연구 동기 및 목표

• 소규모 공간 제약 조건, 특히 하향대수적 공간과 상수 공간 제약 조건 하에서 고전적 및 양자 기계의 계산 능력을 조사하는 것.
• 제한된 공간 환경에서의 양자 계산 분석을 가능하게 하는 일반 양자 연산자를 지원하는 새로운 양자 Turning 기계 모델을 개발하는 것.
• 특히 실시간 및 상수 공간 설정에서 다양한 양자 및 고전적 오ート마타가 인식하는 언어 클래스를 규명하는 것.
• 공간 효율성과 언어 인식 능력 측면에서 양자 모델이 고전적 및 확률적 대안보다 열등하지 않음을 입증하는 것.
• 후선택(postselection)과 특수 입력 헤드 메커니즘의 역할이 양자 유한 오ート마타의 계산 능력을 어떻게 향상시키는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 일반 양자 연산자를 지원하는 새로운 양자 Turning 기계 모델을 도입하여, 공간 제약 조건 하에서 비유니터리 및 비等거리 연산을 허용한다.
• 좌측 이동이 불가능하지만 시작 위치로 재설정이 가능한 양방향 입력 헤드 모델을 제안하여, 새로운 계산 능력을 가능하게 한다.
• 일반 양자 연산을 모델링하기 위해 초연산자 형식을 사용하며, 유니터리 진화와 부분 추적을 활용한다. 이는 허용 가능한 연산자와 선택적 연산자를 구분한다.
• 밀도 행렬과 연산 요소 {E_i}를 사용하여 양자 전이를 표현하며, 추적 보존을 보장하기 위해 정규화한다.
• 특정 오차 설정에서 언어 인식 능력을 향상시키기 위해 유한 오ート마타 모델에 후선택(postselection)을 적용한다.
• 쓰기 전용 메모리가 있는 양자 유한 오도마타와 다양한 카운터 오도마타 간의 시뮬레이션 및 특성 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하향대수적 공간 제약 조건 하에서 양자 Turning 기계는 고전적 기계보다 더 많은 언어를 인식할 수 있는가?
• RQ2 실시간 상수 공간 비결정적 양자 Turning 기계의 계산 능력은 무엇인가?
• RQ3 좌측 이동이 불가능하지만 재설정이 가능한 두 방향 입력 헤드는 양자 및 확률적 유한 오도마타의 계산 능력에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 후선택과 쓰기 전용 메모리가 있는 양자 유한 오도마타는 고전적 오도마타보다 더 많은 언어를 더 압축적으로 인식할 수 있는가?
• RQ5 비정규 언어를 인식하는 고전적 실시간 튜링 기계에 대한 엄밀한 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 하향대수적 공간 제약 조건 하에서, 양자 Turning 기계는 고전적 Turning 기계보다 엄격히 더 많은 언어를 인식할 수 있다.
• 조금이라도 상수 공간 범위에서도, 제약 조건이 있는 양자 Turning 기계는 고전적 기계보다 언어 인식 능력에서 열등하지 않다.
• 실시간 상수 공간 비결정적 양자 Turning 기계가 인식하는 언어의 집합이 완전히 규명되었다.
• 재설정 가능한 입력 헤드를 가진 두 방향 양자 유한 오도마타는 그 확률적 대안보다 엄격히 더 강력하다.
• 고전적 헤드를 가진 두 방향 양자 유한 오도마타는 두 방향 비결정적 유한 오도마타 및 그 일방향 변형보다 더 압축적이다.
• 후선택과 유계 오차를 가진 양자 유한 오도마타는 동일한 조건 하에서 확률적 오도마타보다 엄격히 더 큰 언어 클래스를 인식한다.