[논문 리뷰] Classical Dynamics from Self-Consistency Equations in Quantum Mechanics -- Extended Version

J. -B. Bru, W. de Siqueira Pedra|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 10.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 92인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보나의 비선형 양자역학에 대해 $C_0$-세미군 기반의 새로운 프레임워크를 제안하며, 자기일관성 방정식을 사용해 양자 과정으로부터 고전역학을 유도한다. 이는 $C^*$-대수 위의 에르미트 계량형 강한 연속 함수에 대한 다항식 함수 위에 파울리 괄호를 정의하며, 대칭 도함수들이 상태 공간 위에서 $C_0$-군의 수축을 생성함으로써 고전역학과 양자역학을 하나의 수학적 구조에 통합한다.

ABSTRACT

During the last three decades, P. Bóna has developed a non-linear generalization of quantum mechanics, based on symplectic structures for normal states and offering a general setting which is convenient to study the emergence of macroscopic classical dynamics from microscopic quantum processes. We propose here a new mathematical approach to Bona's one, with much brother domain of applicability. It highlights the central role of self-consistency. This leads to a mathematical framework in which the classical and quantum worlds are naturally entangled. We build a Poisson bracket for the polynomial functions on the hermitian weak$^{\ast }$ continuous functionals on any $C^{\ast }$-algebra. This is reminiscent of a well-known construction for finite-dimensional Lie algebras. We then restrict this Poisson bracket to states of this $C^{\ast }$-algebra, by taking quotients with respect to Poisson ideals. This leads to densely defined symmetric derivations on the commutative $C^{\ast }$-algebras of real-valued functions on the set of states. Up to a closure, these are proven to generate $C_{0}$-groups of contractions. As a matter of fact, in general commutative $C^{\ast }$-algebras, even the closableness of unbounded symmetric derivations is a non-trivial issue. Some new mathematical concepts are introduced, which are possibly interesting by themselves: the convex weak $^{\ast }$ Gâteaux derivative, state-dependent $C^{\ast }$-dynamical systems and the weak$^{\ast }$-Hausdorff hypertopology, a new hypertopology used to prove, among other things, that convex weak$^{\ast }$-compact sets generically have weak$^{\ast }$-dense extreme boundary in infinite dimension. Our recent results on macroscopic dynamical properties of lattice-fermion and quantum-spin systems with long-range, or mean-field, interactions corroborate the relevance of the general approach we present here.

연구 동기 및 목표

• 보나의 비선형 양자역학을 원래의 제한적인 설정을 초월해 수학적으로 엄밀한 프레임워크로 발전시키기.
• Planck 상수 $\hbar \to 0$ 근사에 의존하지 않고 양자 과정으로부터 고전역학이 어떻게 나타나는지 명확히 하기.
• 동일한 $C^*$-대수적 구조 내에서 고전역학과 양자역학의 동역학을 통합하는 데서 자기일관성의 역할을 확립하기.
• 상태 공간 위의 실수값 함수에 대한 교환적 $C^*$-대수에서 비유계 대칭 도함수의 닫힘 문제를 해결하기.
• 무한차원에서의 분석을 위해 새로운 위상적 도구—예를 들어 약한*–하우스도르프 초위상—을 도입하기.

제안 방법

• $C_0$-세미군 이론을 사용해 $C^*$-대수 위의 에르미트 계량형 강한 연속 함수의 다항식 함수 위에 파울리 괄호를 체계화하기.
• 파울리 이상수를 통해 몫을 취해 상태 공간 위의 실수값 연속 함수의 교환적 $C^*$-대수 위에서 대칭 도함수 정의하기.
• 이 도함수들이 비유계일지라도 무한차원 설정에서도 $C_0$-군의 수축을 생성함을 증명하기.
• 상태에 의존하는 동역학을 분석하기 위한 도구로 볼록한 약한* 가우체 도함수 도입하기.
• 무한차원에서의 일반적인 극점의 조밀성을 연구하기 위해 약한*–하우스도르프 초위상 개발하기.
• 상태에 따라 변화하는 $C^*$-동역학계를 구성하여 양자역학적 동역학을 진화하는 상태와 연관지켜, 불변 부분공간에서의 축소를 통해 고전적 진동을 이끌어내기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기일관성 방정식이 $C_0$-세미군 이론을 통해 양자역학에서 고전역학을 어떻게 생성할 수 있는가?
• RQ2 함수에 대한 $C^*$-대수 위의 파울리 괄호가 양자역학과 고전역학의 동역학을 어떻게 연결하는가?
• RQ3 상태 공간 위의 실수값 함수에 대한 교환적 $C^*$-대수에서 비유계 대칭 도함수가 언제 닫힐 수 있으며, 언제 $C_0$-군을 생성하는가?
• RQ4 약한*–하우스도르프 초위상은 무한차원에서 볼록한 약한* 컴팩트 집합의 극점의 일반적인 조밀성을 어떻게 특징짓는가?
• RQ5 상태에 의존하는 $C^*$-동역학계는 어떻게 일관된 고전역학 법칙의 진동을 이끌어내는가?

주요 결과

• 약한* 연속 함수의 다항식 함수 위에 정의된 파울리 괄호는 $C_0$-세미군 이론을 통해 구성되며, 보나의 프레임워크를 더 넓은 범위의 $C^*$-대수로 확장한다.
• 상태 공간 위의 실수값 함수에 대한 교환적 $C^*$-대수 위에서 대칭 도함수들이 비록 무한차원이어도 $C_0$-군의 수축을 생성함을 입증한다.
• 볼록한 약한* 가우체 도함수는 상태에 의존하는 동역학을 정의하고 양자 시스템의 자기일관성을 분석하기 위한 핵심 도구로 도입된다.
• 약한*–하우스도르프 초위상은 수렴성과 일반성 분석에 효과적인 도구로 증명되었으며, 무한차원에서 볼록한 약한* 컴팩트 집합이 일반적으로 약한* 조밀한 극점 경계를 가짐을 보여준다.
• 양자 스핀 및 격자 페르미온 시스템에서 흔히 나타나는 반-림-대수적 $C^*$-대수의 경우, 상태 집합이 극점의 약한* 조밀한 집합을 가지며, 이는 고전역학의 양자 평균장 시스템에서의 기원을 뒷받침한다.
• 이 프레임워크는 최근의 그로스–피타예프스크리 및 하르트리 계층에 대한 결과들을 바탕으로, 매크로스코픽 고전역학이 자기일관성 있는 진동을 통해 마이크로스코픽 양자 과정에서 기인할 수 있음을 확인한다.