[논문 리뷰] Classical Simulation of High Temperature Quantum Ising Models

Elizabeth Crosson, Samuel G. Slezak|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 06.

Quantum many-body systems참고 문헌 27인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 경로 적분 몬테카를로(Path integral Monte Carlo)와 월드라인 히트백 업데이트를 사용할 때, 체계 크기와 무관한 임계값 이상의 온도에서 양자 이징 모델의 분할함수에 대해 전체 다항시간 근사계열(FPRAS)을 제공함을 입증한다. 온도가 국소 결합 강도 단위로 네 더하기 두 배의 최대 상호작용 차수(가장자리 수)를 초과할 경우, n 큐비트 시스템에서 혼합 시간이 O(n log n)이 되며, 이는 스토쿠스틱 시스템에서 고온의 양자 상태를 효율적으로 고전적으로 시뮬레이션할 수 있음을 의미한다.

ABSTRACT

We consider generalized quantum Ising models, including those which could describe disordered materials or quantum annealers, and we prove that for all temperatures above a system-size independent threshold the path integral Monte Carlo method based on worldline heat-bath updates always mixes to stationarity in time $\mathcal{O}(n \log n)$ for an $n$ qubit system, and therefore provides a fully polynomial-time approximation scheme for the partition function. This result holds whenever the temperature is greater than four plus twice the maximum interaction degree (valence) over all qubits, measured in units of the local coupling strength. For example, this implies that the classical simulation of the thermal state of a superconducting device modeling a frustrated quantum Ising model with maximum valence of 6 and coupling strengths of 1 GHz is always possible at temperatures above 800 mK. Despite the quantum system being at high temperature, the classical spin system resulting from the quantum-to-classical mapping contains strong couplings which cause the single-site Glauber dynamics to mix slowly, therefore this result depends on the use of worldline updates (which are a form of cluster updates that can be implemented efficiently). This result places definite constraints on the temperatures required for a quantum advantage in analog quantum simulation with various NISQ devices based on equilibrium states of quantum Ising models.

연구 동기 및 목표

• 고온에서 양자 이징 모델의 고전적 시뮬레이션이 효율적인 조건을 규명하는 것.
• 경로 적분 몬테카를로와 월드라인 업데이트를 사용할 때 혼합 시간이 급격이 빨라지는 온도 임계값을 규명하여, 분할함수의 다항시간 근사가 보장되는 조건을 확보하는 것.
• 상호작용 그래프의 구조에 관계없이, 온도가 충분히 높을 경우 이 결과가 성립함을 보여주는 것.
• NISQ 시대 장치의 고전적 시뮬레이션 한계를 양자 이징 해밀토니안의 평형 상태 기반으로 명확히 하는 것.
• 단일 스포트 글라우버 동역학이 월드라인을 따라 강한 결합으로 인해 실패하므로, 클러스터 스타일의 월드라인 업데이트가 필요하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 연구는 양자 이징 모델의 열 분할함수를 시뮬레이션하기 위해 월드라인 히트백 업데이트를 사용한 경로 적분 몬테카를로(PIMC)를 적용한다.
• 월드라인 업데이트를 통해 개별 스핀을 순차적으로 업데이트하는 대신 전체 월드라인을 동시에 재표본화함으로써 임계적 느려짐(critical slowing down)을 방지한다.
• 혼합 시간의 빠른 수렴을 입증하기 위해 연결된 추론(argument)와 전이 커널 간의 총변동 거리 거리(bounds)를 사용한다.
• 핵심적인 경계는 한 월드라인에서만 다름이 있는 구성 간의 전이 확률 비율에서 유도되며, 이는 상호작용 항의 지수함수를 포함한다.
• 혼합 시간은 상호작용 그래프의 최대 결합 강도 J와 최대 차수 Δ에 의존하는 드리프트 조건을 사용하여 경계를 정한다.
• 빠른 혼합을 위한 충분조건으로 β ≤ (1/(4J)) log(2/Δ + 1)이 도출되었으며, 이는 스펙트럼 갭이 0에서 멀리 떨어져 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로 적분 몬테카를로를 통해 양자 이징 모델의 고전적 시뮬레이션이 효율적이게 되는 온도는 어느 정도인가?
• RQ2 시스템이 고온 영역에 있음에도 불구하고, 표준 단일 스포트 글라우버 동역학이 고온 양자 이징 모델을 시뮬레이션하는 데 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 월드라인 히트백 업데이트는 양자 이징 모델의 고전적 매핑에서 월드라인을 따라 강한 결합으로 인해 발생하는 느린 혼합을 극복할 수 있는가?
• RQ4 체계 크기와 무관한 온도 임계값 이상에서 양자 이징 모델의 분할함수를 다항시간 내에 근사할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 다중 스핀 비대칭 항을 포함한 더 일반적인 스토쿠스틱 해밀토니안으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• n 큐비트 시스템에서 경로 적분 몬테카를로와 월드라인 히트백 업데이트를 사용할 경우, 체계 크기와 무관한 임계값 이상의 온도에서 혼합 시간이 O(n log n)이 된다.
• 역온도 β가 β ≤ (1/(4J)) log(2/Δ + 1)를 만족할 경우 빠른 혼합이 보장되며, 여기서 J는 최대 결합 강도이고 Δ는 최대 상호작용 차수이다.
• 이 결과는 실수 결합을 가진 임의의 양자 이징 모델에 대해 분할함수에 대해 전체 다항시간 근사계열(FPRAS)이 보장됨을 의미한다. 이는 온도가 충분히 높을 경우에 한한다.
• 최대 가장자리 수가 6이고 결합 강도가 1 GHz인 초전도 장치의 경우, 고전적 시뮬레이션이 800 mK 이상에서 보장된다.
• 양자-고전 매핑으로 인해 생성된 고전적 스핀 시스템이 강한 상호작용을 보일 경우에도 이 방법은 효율성을 유지한다. 이는 일반적으로 단일 스포트 동역학을 느리게 만들지만, 이는 월드라인 업데이트가 전체 월드라인을 동시에 처리하므로 영향을 받지 않는다.
• 핵심 통찰은 월드라인 업데이트—전체 월드라인에 대해 전역적으로 작용하는 방식—이 지역적 업데이트 방법이 앓는 임계적 느려짐을 피함으로써, 강한 월드라인 결합이 존재하더라도 빠른 혼합을 가능하게 한다는 것이다.