[논문 리뷰] Merlin-Arthur Games and Stoquastic Complexity

Sergey Bravyi, Arvid J. Bessen외 1명|ArXiv.org|2006. 11. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 계산 기저에서 비음성 행렬 원소를 갖는 프로젝터로 양자 $k$-SAT를 제한함으로써 자연스럽고 MA-완전인 stoquastic $k$-SAT를 도입한다. 무작위 보행 기반의 다항시간 랜덤 알고리즘을 사용하여 stoquastic 6-SAT가 MA-완전임을 증명하며, StoqMA라는 복잡도 클래스를 도입하여 $\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$임을 보이고, 국소 stoquastic 하미르토니안의 평균적 최소 고유값 문제가 AM에 속해 있음을 동시에 확립한다.

ABSTRACT

MA is a class of decision problems for which `yes'-instances have a proof that can be efficiently checked by a classical randomized algorithm. We prove that MA has a natural complete problem which we call the stoquastic k-SAT problem. This is a matrix-valued analogue of the satisfiability problem in which clauses are k-qubit projectors with non-negative matrix elements, while a satisfying assignment is a vector that belongs to the space spanned by these projectors. Stoquastic k-SAT is the first non-trivial example of a MA-complete problem. We also study the minimum eigenvalue problem for local stoquastic Hamiltonians that was introduced in quant-ph/0606140, stoquastic LH-MIN. A new complexity class StoqMA is introduced so that stoquastic LH-MIN is StoqMA-complete. Lastly, we consider the average LH-MIN problem for local stoquastic Hamiltonians that depend on a random or `quenched disorder' parameter, stoquastic AV-LH-MIN. We prove that stoquastic AV-LH-MIN is contained in the complexity class \AM, the class of decision problems for which yes-instances have a randomized interactive proof with two-way communication between prover and verifier.

연구 동기 및 목표

• 랜덤화된 다항시간 검증과 고전적 증거를 수반하는 복잡도 클래스 MA에 대해 자연스럽고 비자명한 문제를 특정하는 것.
• 계산 기저에서 비음성 행렬 원소를 갖는 국소 하미르토니안인 stoquastic 하미르토니안의 복잡도를 분석하기 위해 새로운 클래스인 StoqMA를 도입하는 것.
• 양자 복잡도 클래스(QMA, SBP)와 고전적 상호작용 증명 체계(AM) 사이의 연결 고리를 설정하는 것, 특히 stoquastic 하미르토니안에 대한 평균적 최소 고유값 문제를 통해.
• stoquastic $k$-SAT가 계산 기저 상태와의 오버랩 검사를 기반으로 한 효율적인 랜덤 알고리즘으로 검증 가능하다는 것을 보여주어 MA-완전성을 확보하는 것.

제안 방법

• 계산 기저에서 비음성 행렬 원소를 갖는 $k$- 큐비트 프로젝터로 구성된 문장들을 사용하여 $k$-SAT의 행렬 일반화로 stoquastic $k$-SAT를 정의한다.
• 상태 공간 위에서의 무작위 보행을 사용하여 주어진 계산 기저 상태 $|x\rangle$가 만족할 수 있는 할당과 큰 오버랩을 갖는지 확인하는 다항시간 랜덤 알고리즘을 구성한다.
• 기존의 알려진 MA-완전 문제(예: 6-CNF 공식)를 스펙트럼 갭 제어가 가능한 페르투르베이티브 기구를 사용하여 stoquastic 하미르토니안으로 인코딩함으로써 stoquastic 6-SAT의 완전성과 타당성을 증명한다.
• 국소 stoquastic 하미르토니안의 최소 고유값 문제에 대해 완전인 문제들의 클래스로 StoqMA를 도입하며, $\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$임을 보인다.
• 페르투르베이티브 기구를 사용하여 양자 회로의 수용 확률을 비음성 행렬 원소를 갖는 stoquastic 하미르토니안으로 시뮬레이션함으로써 스펙트럼 성질을 유지하고 완전성 증명을 가능하게 한다.
• 최소 고유값 문제의 평균적 형태(stoquastic AV-LH-MIN)를 분석하고 메르린과 아서가 참여하는 양방향 상호작용 증명 체계를 구성함으로써 이 문제가 AM에 속해 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MA 복잡도 클래스에 대해 자연스럽고 비자명한 문제를 찾을 수 있는가? 특히 인위적이거나 회로 기반의 형태를 초월하여.
• RQ2 계산 기저에서 비음성 행렬 원소를 갖는 stoquastic 하미르토니안의 복잡도는 AM 또는 StoqMA와 같은 고전적 복잡도 클래스 내에서 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 stoquastic 시스템으로 제한된 경우, 고전적 MA 클래스와 QMA, SBP와 같은 양자 복잡도 클래스 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 국소 stoquastic 하미르토니안의 최소 고유값 문제는 상호작용 증명 체계를 통해 해결될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 복잡도 클래스에 속하는가?
• RQ5 stoquastic 최소 고유값 문제의 평균적 형태는 상수 라운드의 랜덤화된 상호작용 증명을 갖는가? 그리고 그 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• Stoquastic 6-SAT가 MA-완전임을 증명하였으며, 이는 MA-완전 문제에 대해 알려진 자연스러운 첫 번째 예시이다.
• 계산 기저 상태 위에서의 무작위 보행 기반 다항시간 랜덤 알고리즘이 stoquastic $k$-SAT의 완전성과 타당성을 보장하여 MA에 속함을 입증한다.
• 국소 stoquastic 하미르토니안의 최소 고유값 문제에 대해 완전인 문제들의 클래스로 StoqMA를 도입하였으며, $\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$임을 보였다.
• 국소 stoquastic 하미르토니안에 대한 평균적 최소 고유값 문제(stoquastic AV-LH-MIN)는 AM에 포함되어 있음을 보였으며, 이는 양자 하미르토니안 문제와 고전적 상호작용 증명 체계 사이의 연결 고리를 시사한다.
• 양자 회로의 수용 확률을 비음성 행렬 원소를 갖는 stoquastic 하미르토니안으로 시뮬레이션할 수 있는 페르투르베이티브 기구를 구성하였으며, 스펙트럼 성질을 유지하고 완전성 증명을 가능하게 하였다.
• MA-완전성 증명은 6-CNF 공식을 스펙트럼 갭 제어가 가능한 stoquastic 하미르토니안으로 인코딩하는 데 기반하며, 만족할 수 있는 할당이 존재하는 것과 최소 고유값이 0임이 동치이며, 타당성은 $1 - n^{-O(1)}$로 유계되어 있음을 보였다.