[논문 리뷰] Clifford Algebras, Spinors and $Cl(8,8)$ Unification

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 25.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 클리포드 대수 Cl(8,8)를 사용한 통합 프레임워크를 제안하여 16차원 벡터 공간 V₈,₈에서 기본 입자와 힘을 기술한다. 여기서 스핀론은 내부 기하학이 질량과 게이지 대칭을 생성하는 디랙 방정식을 만족한다. 이 모델은 SO(10) 대규모 통합과 로렌츠 불변성을 실현하면서 클리포드 공간 내 기하학적 스핀론을 통해 콜먼-만두라 정리의 제약를 피한다. 질량은 힉스 유사 결합뿐만 아니라 추가 차원에서의 궤도 운동량에 의해 기인한다.

ABSTRACT

It is shown how the vector space $V_{8,8}$ arises from the Clifford algebra $Cl(1,3)$ of spacetime. The latter algebra describes fundamental objects such as strings and branes in terms of their $r$-volume degrees of freedom, $x^{μ_1 μ_2 ...μ_r}$ $\equiv x^M$, $r=0,1,2,3$, that generalizethe concept of center of mass. Taking into account that there are sixteen $x^M$, $M=1,2,3,...,16$, and in general $16 imes 15/2 = 120$ rotations of the form $x'^M = {R^M}_N x^N$, we can consider $x^M$ as components of a vector $X=x^M q_M$, where $q_M$ are generators of the Clifford algebra $Cl(8,8)$. The vector space $V_{8,8}$ has enough room for the unification of the fundamental particles and forces of the standard model. The rotations in $V_{8,8}\otimes \mathbb{C}$ contain the grand unification group $SO(10)$ as a subgroup, and also the Lorentz group $SO(1,3)$. It is shown how the Coleman-Mandula no go theorem can be avoided. Spinors in $V_{8,8}\otimes \mathbb{C}$ are constructed in terms of the wedge products of the basis vectors rewritten in the Witt basis. They satisfy the massless Dirac equation in $M_{8,8}$ with the internal part of the Dirac operator giving the non vanishing masses in four dimensions.

연구 동기 및 목표

• 스페이스타임 자유도를 클리포드 대수 Cl(1,3)로 확장하여 16차원 클리포드 공간에 통합함으로써 기본 입자와 상호작용, 특히 중력까지 통합하는 것.
• 대규모 통합군 SO(10)과 로렌츠 군 SO(1,3)가 V₈,₈ ⊗ ℂ의 회전 부분군으로 어떻게 나타나는지 보여주는 것.
• 게이지 대칭과 시공간 대칭이 비선형적으로 통합된 고차원 기하학적 프레임워크에서 스핀론을 구성함으로써 콜먼-만두라 금지 정리의 문제를 회피하는 것.
• 히iggs 장만이 아니라 내부 차원에서의 궤도 운동량까지 고려하여 입자 질량을 설명하는 것. 얀다 쿠플링은 스핀 접속에 포함된다.
• 거울 입자와 다크 매터 후보가 클리포드 공간의 기하학적 구조에서 자연스럽게 유도된다는 것을 제안하는 것.

제안 방법

• 클리포드 대수 Cl(1,3)에 속하는 확장된 물체(스트링, 브레인)를 r-체적 자유도 x^{μ₁…μᵣ} ∈ Cl(1,3)로 표현하며, 이들은 Cl(8,8)의 기저 원소로 생성되는 16차원 벡터 공간을 이룬다.
• 클리포드 공간 C의 접선 공간으로서 16차원 벡터 공간 V₈,₈를 구성하며, Cl(8,8)의 생성자 q_M이 벡터 X = x^M q_M의 성분을 정의한다.
• 클리포드 대수 Cl(8,8)의 위트 기저에서의 기저 벡터의 외적 곱을 사용하여 V₈,₈ ⊗ ℂ에서 스핀론을 정의하며, 이를 Cl(8,8)의 최소 왼쪽 이상으로 구성한다.
• M₈,₈에서 질량이 없는 디랙 방정식을 도입하며, 내부 디랙 연산자의 곡률 및 스핀 접속 항이 4차원에서 비영인 질량을 생성한다.
• 공변 도함수 ∂_M Ψ = (∂_M ψ^Ã + Γ_M^Ã_Ã ψ^Ã) ξ_Ã 를 사용하여 게이지 장, 스핀 접속, 힉스 유사 다중장이 스핀 접속 Γ 안에 통합된다.
• 효과적 질량 방정식 m²ψ^i = g^{MN} D_M D_N ψ^i + (σ_{MN})^i_j R^{j}_{MN} ψ^k 를 유도하여, 질량이 힉스 기여와 궤도 운동량 기여의 합으로 기인함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스페이스타임의 클리포드 대수 Cl(1,3)는 어떻게 16차원 기하학적 프레임워크를 생성하여 모든 기본 입자와 힘을 통합할 수 있는가?
• RQ2 V₈,₈ ⊗ ℂ에서의 회전이 SO(10) 대규모 통합과 로렌츠 대칭 SO(1,3)를 부분군으로 포함하는 방식은 무엇인가?
• RQ3 이 클리포드 공간의 기하학적 프레임워크에서 콜먼-만두라 금지 정리는 어떻게 피할 수 있는가?
• RQ4 이 모델에서 입자 질량의 기원은 무엇이며, 궤도 운동량과 스핀 접속은 표준 힉스 메커니즘을 초월하여 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 거울 입자와 다크 매터 후보는 클리포드 공간의 기하학적 구조에서 어떻게 자연스럽게 유도되는가?

주요 결과

• Cl(8,8)에서 생성된 16차원 벡터 공간 V₈,₈는 모든 기본 입자와 상호작용, 특히 중력을 포함한 통합을 위한 충분한 기하학적 자유도를 제공한다.
• SO(10) 군은 V₈,₈ ⊗ ℂ의 회전 부분군으로 나타나며, 표준 모델 게이지 군과 페르미온 세대의 대규모 통합을 실현한다.
• 로렌츠 군 SO(1,3)는 SO(2,4)의 부분군으로서, 이는 SO(8,8)의 부분군이 되며, 고차원 프레임워크 내에서 시공간 대칭을 유지한다.
• 질량 생성은 힉스 장에 의해만 기인하지 않으며, 내부 공간에서의 궤도 운동량 항 g^{MN} ∂_M ∂_N ψ^i 가 효과적 질량에 상당한 기여를 한다. 이는 유도된 방정식 m²ψ^i = g^{MN} D_M D_N ψ^i + (σ_{MN})^i_j R^{j}_{MN} ψ^k 에서 명백히 드러난다.
• 공변 도함수 ∂_M Ψ 는 스핀 접속 Γ_M^Ã_Ã 안에 게이지 장, 스핀 접속, 힉스 다중장을 기하학적으로 통합한다.
• 거울 입자와 다크 매터 후보는 클리포드 공간의 기하학적 구조에서 자연스럽게 유도되며, 이는 거울 게이지 장과 결합되어 표준 모델 상호작용을 통해 관측 불가능하다.