[논문 리뷰] Closed formula for Wilson loops for $SU(N)$ Quantum Yang-Mills Theory in two dimensions

Abhay Ashtekar, Jurek Lewandowski외 3명|CERN Bulletin|1996. 05. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 12인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 2차원 $SU(N)$ 및 $U(1)$ 양-밀스 이론에서 $ield{R}^1 imes ield{R}^1$ 및 $ield{R}^1 imes S^1$ 위상에서 윌슨 루프 함수에 대한 폐쇄형 표현을 제시한다. 이는 모든 조각별 해석적 루프를 다룰 수 있는 엄밀하고 게이지 불변인 프레임워크를 사용한다. 주요 결과는 특성 함수에 대한 정확한 공식으로, 면적 법칙을 일반화하며 이는 제곱형 면적 의존성을 드러내며 양자 측도 내 비자명한 상호작용을 시사한다.

ABSTRACT

A closed expression of the Euclidean Wilson-loop functionals is derived for pure Yang-Mills continuum theories with gauge groups $SU(N)$ and $U(1)$ and space-time topologies $\Rl^1 imes\Rl^1$ and $\Rl^1 imes S^1$. (For the $U(1)$ theory, we also consider the $S^1 imes S^1$ topology.) The treatment is rigorous, manifestly gauge invariant, manifestly invariant under area preserving diffeomorphisms and handles all (piecewise analytic) loops in one stroke. Equivalence between the resulting Euclidean theory and and the Hamiltonian framework is then established. Finally, an extension of the Osterwalder-Schrader axioms for gauge theories is proposed. These axioms are satisfied for the present model.

연구 동기 및 목표

• 2차원 유클리드 $SU(N)$ 및 $U(1)$ 양-밀스 이론에서 윌슨 루프 함수에 대한 폐쇄형 표현을 유도하여 문헌에서 오랫동안 남아 있던 격차를 해결한다.
• 모든 조각별 해석적 루프에 대해 이러한 함수를 계산하기 위한 엄밀하고 명백한 게이지 불변성 및 면적 보존 미분형 불변성 프레임워크를 수립한다.
• 2차원 양-밀스 이론에서 유클리드 경로 적분 공식과 해밀토니안 해법 간의 등가성을 입증한다.
• 게이지 이론에 대해 오스터발더-슐라더 공리계를 확장하고, 본 모델에서 그 만족성을 검증한다.

제안 방법

• 접속 공간 위에서 측도 이론적 접근을 사용하여 윌슨 루프 함수의 폐쇄형 표현을 도출한다.
• 군 변수에 대한 하르 측도를 사용한 격자 정규화를 시행한 후 연속체 극한을 취하여 함수적 적분을 복원한다.
• $U(1)$의 경우 토러스 위에서 가우스 법칙 제약 조건을 다루기 위해 $\delta(g,1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g^n$의 딜리클레 공식을 활용한다.
• $\beta \to \infty$ 근처에서 수정 베셀 함수 $I_n(\beta)$의 渐近 분석을 적용하여 연속체 행동을 추출한다.
• 특성 함수 $\chi(\alpha)$를 $n$에 대한 합의 비율로 구성하여 전체 양자 측도를 제곱형 면적 의존성과 함께 포괄한다.
• 상태와 관측량 간의 엄밀한 사상에 의해 유클리드 경로 적분과 해밀토니안 해법 간의 등가성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유한 및 유한 공간 위상에서 2차원 $SU(N)$ 양-밀스 이론의 윌슨 루프 함수에 대해 폐쇄형 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 함수적 적분을 명백한 게이지 불변성과 면적 보존 미분형 불변성으로 엄밀하게 다룰 수 있는가?
• RQ3 2차원 양-밀스 이론에서 유클리드 경로 적분과 해밀토니안 해법 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 확장된 오스터발더-슐라더 공리 체계가 이 양자 게이지 이론 모델에 대해 성립하는가?
• RQ5 $U(1)$ 이론에서 토러스 위에서 윌슨 루프 함수가 면적에 대해 선형이 아닌 제곱형 의존성을 보이는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 토러스 위의 $U(1)$에 대한 특성 함수는 정확히 $\chi(\alpha) = \delta_{l_x,0}\delta_{l_y,0} \frac{\sum_n \exp\left(-\frac{g_0^2}{2} \left(n + \frac{\sum A_I k_I}{V}\right)^2 V\right)}{\sum_n \exp\left(-\frac{g_0^2}{2} n^2 V\right)} \exp\left(-\frac{g_0^2}{2} \left[\sum A_I k_I^2 - \frac{1}{V} \left(\sum A_I k_I\right)^2 \right]\right)$ 로 주어진다.
• 윌슨 루프 함수는 루프 면적에 대해 제곱형 의존성을 보이며, 표준 면적 법칙을 위반하고 측도 내 비자명한 양자 상호작용을 시사한다.
• 다중 루프가 존재할 경우 루프 보완에 대해 함수가 불변하며, 이는 유한한 경우의 위상적 이중성 반영한다.
• 유도된 함수는 확장된 오스터발더-슐라더 공리계를 만족하여 양자장이론 측도로서의 일관성을 확인한다.
• 유클리드 경로 적분과 해밀토니안 해법 간의 등가는 $\field{R}^1 \times \field{R}^1$ 및 $\field{R}^1 \times S^1$ 경우에 대해 엄밀히 확립되었다.
• 이전의 겹치지 않는 루프에 대한 결과를 일반화하며, 2차원 양-밀스 이론에서 모든 조각별 해석적 루프에 대한 통합적 처리를 제공한다.