[논문 리뷰] Closed, Rich, Privileged, Trapezoidal, and Balanced Words in Automatic Sequences.

Luke Schaeffer, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 09.

semigroups and automata theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자동 수열에서 닫힘, 풍부함, 특권, 사다리꼴, 균형 등의 성질이 일阶논리로 표현 가능하다는 것을 증명하며, 이는 그 특성 함수가 자동 수열임을 의미한다. 또한 특권 단어의 새로운 특성화를 도입하고, 투-모르스, 루딘-샤비어, 피보나치와 같은 주요 수열의 특성 함수를 계산한다.

ABSTRACT

We prove that the property of being closed (resp., rich, privileged trapezoidal, balanced) is expressible in first-order logic for automatic (and some related) sequences. It therefore follows that the characteristic function of those n for which an automatic sequence x has a closed (resp., privileged, rich, trapezoidal, balanced) factor of length n is automatic. For privileged words this requires a new characterization of the privileged property. We compute the corresponding characteristic functions for various famous sequences, such as the Thue-Morse sequence, the Rudin-Shapiro sequence, the ordinary paperfolding sequence, period-doubling sequence, and the Fibonacci sequence.

연구 동기 및 목표

• 자동 수열의 기본 조합적 성질이 논리적으로 형식화될 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 자동 수열이 닫힌, 풍부한, 특권적인, 사다리꼴의, 또는 균형 잡힌 인자의 길이 n의 집합이 자동 수열임을 증명하는 것.
• 특권 성질을 새로운 논리적 특성화를 통해 자동 수열에서 일阶논리로 표현 가능하게 하는 것.
• 투-모르스 및 루딘-샤비어와 같은 주요 자동 수열에 대해 이러한 성질의 특성 함수를 계산하는 것.

제안 방법

• 자동 수열에서 닫힘, 풍부함, 특권, 사다리꼴, 균형 성질을 일阶논리 공식을 사용해 표현하는 것.
• 특권 단어를 위한 새로운 특성화를 도입하여 일阶논리로 표현 가능하게 하는 것.
• 자동 수열이 일阶논리로 정의 가능한 조건자에 대해 닫힘 성질을 활용하여 이러한 길이의 특성 함수가 자동임을 보이는 것.
• 자동 수열에서 일阶논리로 정의 가능한 집합에 대한 알려진 알고리즘을 적용하여 특정 수열의 특성 함수를 계산하는 것.
• 투-모르스, 루딘-샤비어, 피보나치와 같은 잘 알려진 수열의 구조적 성질을 활용하여 각 수열의 특성 함수를 계산하는 것.
• 각 대상 수열에 대해 특성 함수를 계산하고 검증함으로써 방법의 타당성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자동 수열에서 닫힘 성질이 일阶논리로 표현될 수 있는가?
• RQ2 자동 수열이 길이 n의 풍부한 인자를 포함하는 길이 n의 집합은 자동 수열인가?
• RQ3 특권 성질이 자동 수열에서 일阶논리로 표현 가능하도록 논리적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 자동 수열에서 사다리꼴 및 균형 인자의 특성 함수는 자동인가?
• RQ5 투-모르스 및 루딘-샤비어와 같은 주요 수열에 대해 명시적인 특성 함수는 무엇인가?

주요 결과

• 자동 수열이 길이 n의 닫힌 인자를 가지는 길이 n에 대한 특성 함수는 자동이다.
• 자동 수열이 길이 n의 풍부한 인자를 가지는 길이 n에 대한 특성 함수는 자동이다.
• 특권 단어에 대한 새로운 논리적 특성화가 자동 수열에서 일阶논리로 표현 가능하게 한다.
• 자동 수열이 길이 n의 특권 인자를 가지는 길이 n에 대한 특성 함수는 자동이다.
• 이 방법은 투-모르스, 루딘-샤비어, 일반적인 종이접기, 주기 두배, 피보나치 수열의 특성 함수를 성공적으로 계산한다.
• 결과는 조합적 성질의 논리적 표현 가능성은 그에 해당하는 특성 함수의 자동성으로 이어진다는 것을 확인한다.