[논문 리뷰] Coactions of Hopf $C^*$-algebras on Cuntz-Pimsner algebras

Dong-woon Kim|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $C^*$-correspondence 위에 호프 $C^*$-대수의 공행동을 도입하고, 약한 $\delta$-불변성 조건 하에서 이러한 공행동이 관련된 쿤츠-핌스너 대수 위에 공행동을 유도함을 보여준다. 쌍대성 조건 하에서 줄임표 교차곱 $ϴ_X times_ heta \\-widehat{S}$와 쿤츠-핌스너 대수 $ϴ_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 사이의 동형사상이 존재함을 증명하며, 이는 이전에 아메니타블 군에 대해 알려진 결과를 임의의 국소 콪트 군으로 일반화하고, 이 설정에서 쿤츠-핌스너 쌍대성 조건이 여유롭다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Unifying two notions of an action and coaction of a locally compact group on a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence we introduce a coaction $(σ,δ)$ of a Hopf $C^*$-algebra $S$ on a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence $(X,A)$. We show that this coaction naturally induces a coaction $ζ$ of $S$ on the associated Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal{O}_X$ under the weak $δ$-invariancy for the ideal $J_X$. When the Hopf $C^*$-algebra $S$ is defined by a well-behaved multiplicative unitary, we construct a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence $(X times_σ\widehat{S},A times_δ\widehat{S})$ from $(σ,δ)$ and show that it has a representation on the reduced crossed product $\mathcal{O}_X times_ζ\widehat{S}$ by the induced coaction $ζ$. This representation is used to prove an isomorphism between the $C^*$-algebra $\mathcal{O}_X times_ζ\widehat{S}$ and the Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal{O}_{X times_σ\widehat{S}}$ under the covariance assumption which is guaranteed in particular if the ideal $J_{X times_σ\widehat{S}}$ of $A times_δ\widehat{S}$ is generated by the canonical image of $J_X$ in $M(A times_δ\widehat{S})$ or the left action on $X$ by $A$ is injective. Under this covariance assumption, our results extend the isomorphism result known for actions of amenable groups to arbitrary locally compact groups. The Cuntz-Pimsner covariance condition which was assumed for the same isomorphism result concerning group coactions is shown to be redundant.

연구 동기 및 목표

• 호프 $C^*$-대수의 공행동을 도입함으로써 군 작용과 공행동의 개념을 $C^*$-correspondence 위에서 통합한다.
• 이러한 공행동이 이상 $J_X$ 에 대해 약한 $\delta$-불변성 조건을 만족할 경우, 관련된 쿤츠-핌스너 대수 위에 공행동을 유도함을 확립한다.
• 공행동 $(\sigma,\delta)$ 에서 유도된 $C^*$-correspondence $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 를 구성하고, 이가 줄임표 교차곱 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 를 나타냄을 보인다.
• 쌍대성 조건 하에서 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S} \cong \mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 를 증명하며, 이는 이전에 아메니타블 군에 대해 알려진 결과를 임의의 국소 콱트 군으로 일반화한다.
• 이 설정에서 쿤츠-핌스너 쌍대성 조건이 여유롭다는 것을 보이며, 동형사상 조건을 단순화한다.

제안 방법

• 호프 $C^*$-대수 $S$ 가 $C^*$-correspondence $(X,A)$ 위에 작용하는 공행동 $(\sigma,\delta)$ 를 도입하며, 힐베르트 모듈러 구조와 $A$ 가 $X$ 위에 작용하는 왼쪽 작용과 호환되도록 한다.
• 이상 $J_X$ 가 약한 $\delta$-불변성을 만족할 경우, 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_X$ 위에 유도된 공행동 $\zeta$ 를 정의한다.
• 관리 가능한 곱단위원자로부터 유도된 호프 $C^*$-대수 $S$ 에 대해, 교차곱 대응 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 를 구성한다.
• 유도된 공행동 $\zeta$ 를 통해 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 가 줄임표 교차곱 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 위에 표현됨을 확립한다.
• 쌍대성 조건 하에서 이 표현이 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 와 $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 사이의 동형사상임을 증명한다.
• 쌍대성 조건이 성립함을 보이며, 이는 $J_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 가 $M(A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 에서 $J_X$ 의 상으로 생성될 경우 또는 $A$ 가 $X$ 위에 작용하는 왼쪽 작용이 단사일 경우 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 $C^*$-대수의 공행동이 $C^*$-correspondence 위에 정의될 수 있는가? 이는 군 작용과 공행동의 개념을 통합할 수 있는가?
• RQ2 이러한 공행동이 관련된 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_X$ 위에 자연스럽게 공행동을 유도할 수 있는가?
• RQ3 적절한 쌍대성 조건 하에서 줄임표 교차곱 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 와 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 사이에 동형사상이 존재하는가?
• RQ4 이 프레임워크를 통해 아메니타블 군에 대해 알려진 동형사상 결과를 임의의 국소 콱트 군으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 쿤츠-핌스너 쌍대성 조건은 필수적인가, 아니면 이 설정에서 여유롭다는 것을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 호프 $C^*$-대수 $S$ 가 $C^*$-correspondence $(X,A)$ 위에 공행동 $(\sigma,\delta)$ 를 가지며, 이상 $J_X$ 가 약한 $\delta$-불변성을 만족할 경우, 쿤츠-핌스너 대수 $\mathcal{O}_X$ 위에 공행동 $\zeta$ 가 유도된다.
• 관리 가능한 곱단위원자로부터 유도된 호프 $C^*$-대수 $S$ 에 대해, 교차곱 대응 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 가 구성되고, 이가 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 위에 표현됨이 보여진다.
• 쌍대성 조건 하에서 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S} \cong \mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 를 확립하며, 이 조건은 $J_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 가 $M(A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 에서 $J_X$ 의 상으로 생성될 경우 성립한다.
• 이 동형사상 결과는 이전에 아메니타블 군에 대해 알려진 결과를 임의의 국소 콱트 군으로 일반화하여, 이 구성의 적용 범위를 넓혔다.
• 이 설정에서 쿤츠-핌스너 쌍대성 조건이 여유롭다는 것이 보여졌으며, 동형사상 조건이 단순화되었다.
• 이 프레임워크는 이전의 군 작용 및 공행동에 대한 $C^*$-correspondence 위의 결과를 호프 $C^*$-대수 공행동 설정으로 일반화한다.